LE MANUEL MAGISTRAL – RÉFÉRENCE ABSOLUE
Les Limites d’une Fonction
Analyse Asymptotique & Topologie – Niveau 1ère Bac
- I. Genèse et Histoire du Concept
- II. Approche Intuitive et Voisinages
- III. Définition Formelle (Langage $\varepsilon$)
- IV. Limite Finie en un Point
- V. Limite Infinie en un Point
- VI. Limite en l’Infini
- VII. Opérations sur les Limites
- VIII. Les Formes Indéterminées (Analyse Approfondie)
- IX. Limites et Ordre : Théorèmes de Comparaison
- X. Limites des Fonctions Trigonométriques
- XI. Asymptotes et Branches Infinies
- XII. La Continuité (Introduction)
- XIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes
I. Genèse et Histoire du Concept
Le concept de limite est l’aboutissement d’une longue quête intellectuelle pour apprivoiser l’infini. Dès l’Antiquité, Zénon d’Élée posait des paradoxes troublants (Achille et la tortue) suggérant que le mouvement était impossible car il nécessitait de parcourir une infinité d’étapes. Archimède, avec sa méthode d’exhaustion pour calculer l’aire du cercle, effleurait déjà l’idée d’approcher une valeur par des polygones de plus en plus fins.
Cependant, c’est au XVIIe siècle, avec Newton et Leibniz, que le calcul infinitésimal prend son essor. Ils manipulaient des « infiniment petits », des quantités non nulles mais plus petites que tout nombre réel… une notion floue et critiquée.
Il faudra attendre le XIXe siècle pour que les mathématiciens Augustin-Louis Cauchy et Karl Weierstrass donnent enfin une définition rigoureuse et arithmétique de la limite, chassant le flou des « infiniment petits » au profit des inégalités précises avec $\varepsilon$ (epsilon) et $\alpha$ (alpha). C’est cette définition, socle de l’analyse moderne, que nous allons étudier.
II. Approche Intuitive et Voisinages
Avant de formaliser, comprenons l’idée. Dire que « la limite de $f(x)$ est $L$ quand $x$ tend vers $a$ » signifie que l’on peut rendre $f(x)$ aussi proche que l’on veut de $L$, à condition de choisir $x$ suffisamment proche de $a$.
Un voisinage d’un réel $a$ est tout intervalle ouvert contenant $a$.
Mathématiquement, pour tout $\alpha > 0$, l’intervalle $]a – \alpha ; a + \alpha[$ est un voisinage de $a$. Il contient tous les réels $x$ tels que la distance $|x – a| < \alpha$.
III. Définition Formelle (Langage $\varepsilon$)
Cette section est destinée à l’excellence académique. Bien que souvent admise, la compréhension de cette définition permet de saisir la véritable nature des mathématiques.
On dit que $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si :
Traduction : Pour tout écart de tolérance $\varepsilon$ (aussi petit soit-il) que l’on se fixe autour de la cible $L$, il existe un rayon de sécurité $\alpha$ autour de $a$, tel que si $x$ est dans ce rayon, alors $f(x)$ tombera forcément dans la tolérance.
Visualisation du « Défi » Epsilon-Alpha : Pour rester dans le couloir bleu (vertical), il faut rester dans la zone rouge (horizontal).
IV. Limite Finie en un Point
4.1 Limite à Gauche et à Droite
Parfois, une fonction se comporte différemment selon qu’on arrive vers $a$ par des valeurs inférieures ou supérieures.
- Limite à droite ($x \to a^+$ ou $x > a$) : On ne considère que les $x > a$.
- Limite à gauche ($x \to a^-$ ou $x < a$) : On ne considère que les $x < a$.
Théorème : Une fonction admet une limite $L$ en $a$ si et seulement si :
Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. En 0 :
- Si $x \to 0^+$ (ex: 0.0001), $1/x$ devient très grand positif. $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
- Si $x \to 0^-$ (ex: -0.0001), $1/x$ devient très grand négatif. $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.
Les limites à gauche et à droite sont différentes (et infinies). Donc $f$ n’a pas de limite globale en 0.
V. Limite Infinie en un Point
C’est le cas où la courbe « explose » verticalement à l’approche d’une valeur interdite.
Dire que $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$ signifie que pour tout réel $A$ (aussi grand soit-il), $f(x)$ finira par dépasser $A$ pour $x$ assez proche de $a$.
Ceci se traduit graphiquement par une Asymptote Verticale d’équation $x = a$.
VI. Limite en l’Infini
Ici, on regarde le comportement de la fonction quand $x$ devient très grand (vers $+\infty$) ou très petit (vers $-\infty$).
6.1 Limite Finie en l’Infini (Asymptote Horizontale)
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ (un nombre réel), cela signifie que la courbe s’aplatit et se rapproche de la droite horizontale d’équation $y = L$. C’est une Asymptote Horizontale.
6.2 Limite Infinie en l’Infini
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$, la fonction ne se stabilise pas. Cela mène à l’étude des Branches Infinies (paraboliques ou asymptotes obliques, voir section XI).
VII. Opérations sur les Limites
Le calcul de limite est algébrique. La plupart du temps, « la limite de la somme est la somme des limites ».
- $L + L’ = L+L’$
- $L \times L’ = LL’$
- $\frac{1}{\infty} = 0$
- $\frac{1}{0^+} = +\infty$ et $\frac{1}{0^-} = -\infty$
- $\infty + \infty = \infty$
- $\infty \times \infty = \infty$ (Règle des signes s’applique)
VIII. Les Formes Indéterminées (Analyse Approfondie)
Il existe 4 cas « pathologiques » où les règles ci-dessus ne permettent pas de conclure. C’est là que le travail mathématique commence.
- \(\infty – \infty\) : « Le combat des géants ». Qui est le plus fort ?
- \(0 \times \infty\) : « L’infiniment petit contre l’infiniment grand ».
- \(\frac{\infty}{\infty}\) : « La course de vitesse ». Qui croît le plus vite ?
- \(\frac{0}{0}\) : « Le microscope ». On zoome sur un point critique.
8.1 Lever l’indétermination : Fonctions Polynômes et Rationnelles
En l’infini ($\pm\infty$) uniquement :
- La limite d’un polynôme est celle de son terme de plus haut degré.
Ex: $\lim_{x \to +\infty} (x^2 – x) = \lim x^2 = +\infty$. - La limite d’une fraction rationnelle est celle du quotient des termes de plus haut degré.
Ex: $\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3+1}{x^2} = \lim \frac{2x^3}{x^2} = \lim 2x = -\infty$.
8.2 Lever l’indétermination : Fonctions Irrationnelles
Utilisée pour les formes $\infty – \infty$ avec des racines, ou $0/0$.
On utilise l’identité : $\sqrt{A} – B = \frac{A – B^2}{\sqrt{A} + B}$.
Utilisée pour les formes $\infty / \infty$.
On factorise par le terme dominant sous la racine : $\sqrt{x^2+1} = \sqrt{x^2(1+1/x^2)} = |x|\sqrt{1+1/x^2}$. Attention à la valeur absolue !
IX. Limites et Ordre : Théorèmes de Comparaison
Parfois, on ne peut pas calculer la limite directement, on doit encadrer la fonction.
Si pour tout $x$ assez grand, $g(x) \le f(x) \le h(x)$ et si :
Alors, forcément : \(\lim f(x) = L\).
- Si $f(x) \ge g(x)$ et $\lim g(x) = +\infty$, alors $\lim f(x) = +\infty$. (Si le plus petit tend vers l’infini, le plus grand aussi).
- Si $f(x) \le g(x)$ et $\lim g(x) = -\infty$, alors $\lim f(x) = -\infty$.
X. Limites des Fonctions Trigonométriques
Les fonctions sinus et cosinus n’ont pas de limite en l’infini (elles oscillent). Cependant, elles ont des limites remarquables en 0.
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) (Fondamental pour la dérivée du sinus).
- \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).
- \(\lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\).
XI. Asymptotes et Branches Infinies
C’est l’interprétation géométrique des calculs de limites. C’est ce qui permet de tracer l’allure de la courbe aux extrémités.
On étudie la limite de $f(x)$ en $\pm\infty$.
- Si $\lim f(x) = b$ : Asymptote Horizontale $y=b$.
- Si $\lim f(x) = \pm\infty$ : On calcule $\lim \frac{f(x)}{x}$.
- Si $\lim = 0$ : Branche Parabolique direction axe des abscisses $(Ox)$.
- Si $\lim = \pm\infty$ : Branche Parabolique direction axe des ordonnées $(Oy)$.
- Si $\lim = a \neq 0$ : On calcule $\lim [f(x) – ax]$.
- Si $\lim = b$ : Asymptote Oblique $y = ax + b$.
- Si $\lim = \pm\infty$ : Branche Parabolique direction la droite $y=ax$.
XII. La Continuité (Introduction)
Une fonction est continue si on peut tracer sa courbe sans lever le crayon.
Une fonction $f$ est continue en un point $x_0$ si :
C’est une condition plus forte que la simple existence de la limite. Si la limite existe mais n’est pas égale à la valeur de la fonction, il y a un « trou » dans la courbe.
XIII. Synthèse et Erreurs Fréquentes
- ⛔ Écrire $\frac{5}{0} = \infty$ dans un calcul. C’est une notation limite, pas une égalité numérique. On écrit « par quotient des limites… ».
- ⛔ Appliquer la règle du plus haut degré en un point fini (ex: $x \to 1$). Elle ne marche qu’en l’infini !
- ⛔ Dire que $\sqrt{x^2} = x$. C’est $|x|$. Si $x \to -\infty$, c’est $-x$. C’est la source de 90% des erreurs sur les limites de racines en $-\infty$.
- ⛔ Confondre $f(a)$ et $\lim_{x \to a} f(x)$. L’un est une valeur, l’autre une tendance.