Opérations sur les nombres entiers et décimaux : Cours & Exercices

Bienvenue dans cette leçon fondamentale où nous allons maîtriser les opérations sur les nombres entiers et décimaux ensemble ! Prépare-toi à découvrir des méthodes simples, des astuces pratiques et des règles claires pour calculer comme un véritable mathématicien.

Activité de découverte : Le budget du club de mathématiques

Imaginons que tu sois le trésorier du nouveau club de mathématiques de ton collège. Tu dois acheter du matériel pour les activités de l’année.

Voici la liste de tes achats prévus pour le club :

Une grande boîte de compas qui coûte $34,50$ euros.
Un lot d’équerres affiché au prix de $12$ euros.
Des calculatrices scientifiques pour un total de $145,75$ euros.

Avant de passer à la caisse, tu dois savoir combien cet achat va te coûter au total. De plus, le foyer du collège t’a donné un billet de $200$ euros pour payer. Tu dois calculer combien la caissière va te rendre.

Pour résoudre ce problème de la vie courante, tu vas devoir utiliser des additions et des soustractions avec des nombres qui possèdent une virgule, et d’autres qui n’en ont pas. C’est exactement ce que nous allons apprendre à faire avec précision dans ce chapitre !

Je retiens : L’addition et la soustraction (Opérations sur les nombres entiers et décimaux)

Commençons par revoir le vocabulaire essentiel. En mathématiques, il est très important de nommer correctement les choses.

Le résultat d’une addition s’appelle la somme.
Le résultat d’une soustraction s’appelle la différence.
Les nombres que l’on additionne ou que l’on soustrait s’appellent les termes.

Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux, la règle d’or absolue est l’alignement. Il faut impérativement aligner les chiffres de même rang (les unités avec les unités, les dizaines avec les dizaines, etc.).

La méthode la plus simple pour garantir cet alignement est de superposer les virgules l’une au-dessus de l’autre.

Méthodes et Exemples résolus : L’addition

Voyons comment poser l’addition suivante étape par étape : calculer la somme de $145,2$ et de $37,84$.

Étape 1 : J’écris le premier terme.
Étape 2 : J’écris le deuxième terme en dessous, en m’assurant que la virgule de $37,84$ est exactement sous la virgule de $145,2$.
Étape 3 : J’ajoute des zéros inutiles à la fin de la partie décimale pour que tous les nombres aient le même nombre de chiffres après la virgule. Ici, $145,2$ devient $145,20$.
Étape 4 : J’effectue l’addition colonne par colonne en commençant par la droite, sans oublier les retenues.
Étape 5 : Je place la virgule du résultat dans le même alignement.

Voici le calcul posé :

$$145,20$$ $$+ 37,84$$ $$——-$$ $$183,04$$

Prenons un deuxième exemple : $42 + 5,67$. Ici, $42$ est un nombre entier. Il faut se rappeler que $42$ s’écrit aussi $42,00$. On aligne donc la virgule invisible de $42$ avec celle de $5,67$. La somme est égale à $47,67$.

Méthodes et Exemples résolus : La soustraction

La méthode est identique pour la soustraction. L’alignement des virgules reste la priorité absolue. Calculons la différence : $89,4 – 15,25$.

Étape 1 : On aligne les virgules.
Étape 2 : On complète $89,4$ avec un zéro pour obtenir $89,40$. C’est une étape cruciale pour la soustraction !
Étape 3 : On soustrait en commençant par la droite et on gère les retenues.

Voici le calcul posé :

$$89,40$$ $$- 15,25$$ $$——-$$ $$74,15$$

Un autre exemple très classique : soustraire un décimal d’un entier. Calculons $100 – 12,5$.

On écrit $100$ sous la forme $100,0$. On aligne la virgule de $12,5$ sous celle de $100,0$. On calcule la soustraction en utilisant les retenues. Le résultat final est $87,5$.

Je retiens : La multiplication des nombres décimaux

Le vocabulaire de la multiplication est différent. Le résultat d’une multiplication s’appelle le produit. Les nombres que l’on multiplie s’appellent les facteurs.

Contrairement à l’addition et la soustraction, il n’est pas nécessaire d’aligner les virgules pour poser une multiplication. La méthode se déroule en deux grandes phases distinctes.

Méthodes et Exemples résolus : Poser une multiplication

Calculons le produit suivant : $2,5 \times 4,23$.

Première phase : On calcule sans tenir compte des virgules.
On pose et on effectue la multiplication de $423$ par $25$ comme s’il s’agissait de nombres entiers.

On multiplie $423$ par $5$, ce qui donne $2115$.
On place un zéro de décalage sur la ligne suivante.
On multiplie $423$ par $2$, ce qui donne $846$. Avec le zéro, on écrit $8460$.
On additionne les deux résultats : $2115 + 8460 = 10575$.

Deuxième phase : On place la virgule dans le résultat.
On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les facteurs initiaux.

Dans $4,23$, il y a $2$ chiffres après la virgule.
Dans $2,5$, il y a $1$ chiffre après la virgule.
Au total, il y a $2 + 1 = 3$ chiffres après la virgule.

On place donc la virgule dans le résultat $10575$ de manière à avoir $3$ chiffres après la virgule. En partant de la droite, on compte trois rangs. Le résultat final est $10,575$.

Deuxième exemple : $12 \times 0,04$.
On calcule $12 \times 4 = 48$. Dans les facteurs, le nombre $12$ a $0$ chiffre après la virgule et $0,04$ en a $2$. Il faut $2$ chiffres après la virgule au total. Le produit est donc $0,48$.

Multiplications par 10, 100, 1000 et par 0,1, 0,01…

Il existe des règles magiques pour calculer de tête très rapidement.

Multiplier par 10, 100 ou 1000 : Cela revient à rendre le nombre plus grand. On décale la virgule vers la droite de $1$, $2$ ou $3$ rangs.
Exemple 1 : $4,56 \times 10 = 45,6$ (décalage d’un rang).
Exemple 2 : $12,3 \times 100 = 1230$ (décalage de deux rangs, on ajoute un zéro).

Multiplier par 0,1, 0,01 ou 0,001 : Cela revient à rendre le nombre plus petit (c’est comme diviser par 10, 100 ou 1000). On décale la virgule vers la gauche de $1$, $2$ ou $3$ rangs.
Exemple 3 : $145,2 \times 0,1 = 14,52$ (décalage d’un rang vers la gauche).
Exemple 4 : $34 \times 0,01 = 0,34$ (décalage de deux rangs vers la gauche, on ajoute un zéro avant).

Je retiens : La division avec des nombres décimaux

Terminons notre exploration avec la division. Le résultat d’une division s’appelle le quotient. Le nombre que l’on divise est le dividende, et celui qui divise est le diviseur.

Au collège, on apprend à poursuivre une division pour obtenir un quotient décimal (un résultat avec une virgule) lorsque la division ne tombe pas juste avec des entiers.

Méthodes et Exemples résolus : Obtenir un quotient décimal

Imaginons que nous voulons diviser $45$ par $4$. Nous allons poser la division.

Dans $45$, combien de fois $4$ ? Il y va $11$ fois.
$11 \times 4 = 44$.
$45 – 44 = 1$. Le reste est de $1$.

En primaire, on s’arrêtait là. Au collège, on continue !

On ajoute une virgule au dividende et on rajoute un zéro des dixièmes : $45$ devient $45,0$.
Dès que l’on franchit la virgule au dividende, on place une virgule au quotient. Le quotient devient $11, …$
On abaisse le zéro des dixièmes. Le nouveau reste à diviser est $10$.
Dans $10$, combien de fois $4$ ? Il y va $2$ fois. $2 \times 4 = 8$. Reste $2$.
On abaisse un nouveau zéro (les centièmes). Le reste devient $20$.
Dans $20$, combien de fois $4$ ? Il y va $5$ fois. $5 \times 4 = 20$. Reste $0$.

La division est terminée (le reste est nul). Le quotient décimal exact de $45 \div 4$ est $11,25$.

Règle pour diviser par 10, 100 ou 1000 :
Diviser par $10, 100$ ou $1000$, c’est rendre le nombre plus petit. On décale simplement la virgule vers la gauche de $1$, $2$ ou $3$ rangs.
Exemples : $125 \div 10 = 12,5$ ; $34,7 \div 100 = 0,347$.

Priorités des opérations sur les nombres entiers et décimaux

Que faire si un calcul contient plusieurs opérations mélangées ? Il existe des règles de priorité très strictes pour que tout le monde trouve le même résultat.

On effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
Ensuite, on effectue les multiplications et les divisions de gauche à droite.
Enfin, on effectue les additions et les soustractions de gauche à droite.

Regardons un exemple détaillé : Calculer $A = 15 + 3 \times (8,5 – 2,5)$.

On applique les priorités :

Étape 1 : Les parenthèses en premier. On calcule $8,5 – 2,5 = 6$. L’expression devient $A = 15 + 3 \times 6$.
Étape 2 : La multiplication avant l’addition. On calcule $3 \times 6 = 18$. L’expression devient $A = 15 + 18$.
Étape 3 : L’addition finale. $A = 33$.

Attention aux pièges fréquents !

Voici les erreurs les plus communes commises par les élèves. Lis-les attentivement pour ne pas tomber dans le panneau !

Oublier les zéros utiles dans la soustraction : Vouloir calculer $15,3 – 4,12$ en descendant simplement le $2$. C’est faux ! Il FAUT écrire $15,30 – 4,12$ pour soustraire correctement les centièmes.
Aligner les virgules dans la multiplication : C’est inutile et cela complique l’opération. On aligne les nombres par la droite, on calcule, et on s’occupe de la virgule seulement à la toute fin.
Se tromper de sens de décalage : Multiplier par $10$ rend plus grand (vers la droite). Multiplier par $0,1$ rend plus petit (vers la gauche). Prends le temps de vérifier ton résultat par rapport à ton bon sens.
Oublier la virgule au quotient : Dans une division, n’oublie jamais de placer la virgule au quotient au moment exact où tu abaisses le chiffre des dixièmes du dividende.

Exercices d’application progressifs

Il est temps de s’entraîner ! Prends une feuille de brouillon, un stylo et résous ces 15 exercices. C’est la pratique qui construit les véritables compétences mathématiques.

Série 1 : Maîtriser l’addition et la soustraction

Exercice 1 : Pose et effectue les additions suivantes sur ta feuille.
a) $45,2 + 13,6$
b) $128,45 + 37,9$
c) $9 + 14,32$

Exercice 2 : Pose et effectue les soustractions suivantes.
a) $85,7 – 32,4$
b) $64,2 – 18,75$
c) $150 – 24,6$

Exercice 3 : Calcul mental rapide. Écris directement le résultat.
a) $2,5 + 3,5$
b) $10 – 0,5$
c) $4,2 + 5,8$

Série 2 : Dompter la multiplication

Exercice 4 : Pose et effectue les multiplications suivantes.
a) $14,2 \times 3$
b) $5,4 \times 2,3$
c) $0,45 \times 1,2$

Exercice 5 : Calcule mentalement en utilisant les règles de décalage de la virgule.
a) $3,14 \times 10$
b) $0,056 \times 100$
c) $12,4 \times 1000$

Exercice 6 : Calcule mentalement avec les nombres inférieurs à 1.
a) $45 \times 0,1$
b) $1350 \times 0,01$
c) $2,5 \times 0,1$

Série 3 : Vaincre la division

Exercice 7 : Pose et effectue les divisions suivantes pour trouver le quotient décimal exact (le reste doit être zéro).
a) $54 \div 4$
b) $17,5 \div 5$
c) $12,6 \div 3$

Exercice 8 : Calcule mentalement en utilisant les règles de décalage.
a) $145,2 \div 10$
b) $34,9 \div 100$
c) $5 \div 1000$

Série 4 : Calculs complexes et problèmes

Exercice 9 : Donne un ordre de grandeur pour chaque calcul afin d’estimer le résultat.
a) $19,8 + 41,1$
b) $101,5 \times 9,9$

Exercice 10 : Calcule en respectant les priorités opératoires.
a) $A = 12 + 4 \times 5$
b) $B = (15 – 2,5) \times 2$
c) $C = 50 – 10 \div 2$

Exercice 11 (Problème de la boulangerie) :
Léa achète 3 baguettes à $1,15$ euros l’unité et 2 pains au chocolat à $1,40$ euros l’unité. Quel est le montant total de ses achats ?

Exercice 12 (Problème de couture) :
Un couturier dispose d’un rouleau de ruban de $25$ mètres. Il coupe $4$ morceaux de $2,5$ mètres chacun. Quelle longueur de ruban lui reste-t-il sur le rouleau ?

Exercice 13 (Problème de partage) :
Au restaurant, 4 amis décident de partager l’addition de manière parfaitement équitable. L’addition s’élève à $75$ euros. Combien chaque ami devra-t-il payer ?

Exercice 14 (Problème du voyage scolaire) :
Pour une sortie scolaire, un collège loue 2 bus. Chaque bus coûte $345,50$ euros pour la journée. Les billets d’entrée pour le musée coûtent $4,50$ euros par élève. Il y a 50 élèves qui participent au voyage. Quel est le coût total de cette sortie pour le collège ?

Exercice 15 (Problème de rénovation) :
Monsieur Martin refait le sol de son salon rectangulaire. La longueur de la pièce est de $5,5$ mètres et la largeur est de $4$ mètres. Il achète du parquet qui coûte $15,50$ euros le mètre carré. Sachant qu’il faut d’abord calculer l’aire de la pièce (longueur multipliée par la largeur), calcule le prix total du parquet que Monsieur Martin devra payer.

Corrections détaillées étape par étape

Voici le moment crucial. Vérifie tes réponses et surtout, analyse attentivement les étapes de correction pour comprendre tes éventuelles erreurs.

Correction de la Série 1 : Additions et Soustractions

Correction de l’Exercice 1 :
a) Pour calculer $45,2 + 13,6$, j’aligne les virgules. J’additionne les dixièmes : $2 + 6 = 8$. Je place la virgule. J’additionne les unités : $5 + 3 = 8$. J’additionne les dizaines : $4 + 1 = 5$. Le résultat est $58,8$.
b) Pour $128,45 + 37,9$, j’écris $37,90$ pour aligner les centièmes. J’additionne de droite à gauche : $5 + 0 = 5$ (centièmes). $4 + 9 = 13$, j’écris $3$ et je retiens $1$ (dixièmes). Je place la virgule. $8 + 7 + 1 \text{ (retenue)} = 16$, j’écris $6$ retiens $1$. $2 + 3 + 1 = 6$. $1 + 0 = 1$. Le résultat est $166,35$.
c) Pour $9 + 14,32$, je transforme l’entier $9$ en $9,00$ pour bien aligner. La somme est très simple à calculer. Le résultat final est $23,32$.

Correction de l’Exercice 2 :
a) Pour $85,7 – 32,4$, les nombres ont déjà le même nombre de décimales. On soustrait les dixièmes : $7 – 4 = 3$. Les unités : $5 – 2 = 3$. Les dizaines : $8 – 3 = 5$. Résultat : $53,3$.
b) Pour $64,2 – 18,75$, attention piège ! Il faut écrire $64,20$. Aux centièmes : $0 – 5$ est impossible, on ajoute une retenue en haut et en bas. $10 – 5 = 5$. Aux dixièmes : $2 – (7+1)$ est impossible. Retenue : $12 – 8 = 4$. On place la virgule. Aux unités : $4 – (8+1)$ impossible. Retenue : $14 – 9 = 5$. Aux dizaines : $6 – (1+1) = 4$. Le résultat est $45,45$.
c) Pour $150 – 24,6$, on écrit impérativement $150,0$. Avec les retenues nécessaires sur chaque colonne en partant de la droite, on obtient : $10 – 6 = 4$ pour les dixièmes. $10 – 5 = 5$ pour les unités. $5 – 3 = 2$ pour les dizaines. Le résultat est $125,4$.

Correction de l’Exercice 3 :
a) $2,5$ et $3,5$ sont des moitiés. $0,5 + 0,5 = 1$. Et $2 + 3 = 5$. Donc $5 + 1 = $ $6$.
b) On enlève une demi-unité à $10$. Le résultat est $9,5$.
c) On repère les compléments à 10. Les dixièmes font $0,2 + 0,8 = 1$ entier complet. Les entiers font $4 + 5 = 9$. Le total est $9 + 1 = $ $10$.

Correction de la Série 2 : Multiplications

Correction de l’Exercice 4 :
a) Pour $14,2 \times 3$, on calcule sans virgule $142 \times 3 = 426$. Il y a un chiffre après la virgule dans $14,2$. On place la virgule dans $426$ pour avoir un chiffre après. Résultat : $42,6$.
b) Pour $5,4 \times 2,3$, on calcule d’abord $54 \times 23$. $54 \times 3 = 162$. $54 \times 20 = 1080$. La somme est $162 + 1080 = 1242$. Il y a $1$ chiffre après la virgule dans $5,4$ et $1$ chiffre dans $2,3$, soit $2$ chiffres en tout. Je place la virgule : $12,42$.
c) Pour $0,45 \times 1,2$, je calcule d’abord $45 \times 12$. $45 \times 2 = 90$ et $45 \times 10 = 450$. $90 + 450 = 540$. Il y a $2$ décimales pour $0,45$ et $1$ décimale pour $1,2$, soit $3$ décimales au total. Je place la virgule sur $540$ en partant de la droite pour avoir $3$ décimales. J’obtiens $0,540$, que je simplifie en $0,54$.

Correction de l’Exercice 5 :
a) Je décale la virgule d’un rang vers la droite : $31,4$.
b) Je décale la virgule de deux rangs vers la droite : $5,6$.
c) Je décale la virgule de trois rangs vers la droite. Comme je n’ai qu’un seul chiffre après la virgule ($4$), j’ajoute deux zéros : $12400$.

Correction de l’Exercice 6 :
a) Multiplier par $0,1$ revient à décaler d’un rang vers la gauche : $4,5$.
b) Multiplier par $0,01$ revient à décaler de deux rangs vers la gauche : $13,50$ (ou simplement $13,5$).
c) Décaler d’un rang vers la gauche dans $2,5$ donne $0,25$.

Correction de la Série 3 : Divisions

Correction de l’Exercice 7 :
a) $54 \div 4$. Dans $54$, il y a treize fois $4$ ($13 \times 4 = 52$). Il reste $2$. Je passe aux dixièmes en ajoutant un zéro au reste, qui devient $20$. Je place immédiatement la virgule au quotient après le $13$. Dans $20$, combien de fois $4$ ? Cinq fois ($5 \times 4 = 20$). Le reste est nul. Le quotient est $13,5$.
b) $17,5 \div 5$. Dans $17$ unités, combien de fois $5$ ? Il y va $3$ fois. $3 \times 5 = 15$. Il reste $2$. Je franchis la virgule en abaissant le $5$ des dixièmes, je place donc une virgule au quotient après mon $3$. Dans $25$ dixièmes, combien de fois $5$ ? Cinq fois. Le reste est nul. Le résultat est $3,5$.
c) $12,6 \div 3$. Dans $12$, il y a quatre fois $3$, reste $0$. Je passe aux dixièmes, je place la virgule. J’abaisse le $6$. Dans $6$, il y a deux fois $3$, reste $0$. Le quotient est $4,2$.

Correction de l’Exercice 8 :
a) Diviser par $10$, c’est décaler d’un rang vers la gauche : $14,52$.
b) Diviser par $100$, c’est décaler de deux rangs vers la gauche : $0,349$.
c) Diviser par $1000$, c’est décaler de trois rangs vers la gauche. Je dois ajouter des zéros pour combler les vides : $0,005$.

Correction de la Série 4 : Priorités et problèmes concrets

Correction de l’Exercice 9 :
L’ordre de grandeur permet de vérifier ses calculs de tête très vite.
a) $19,8$ est proche de $20$. $41,1$ est proche de $40$. Donc le calcul est environ $20 + 40 = 60$. L’ordre de grandeur est $60$.
b) $101,5$ est proche de $100$. $9,9$ est proche de $10$. Donc le calcul est environ $100 \times 10 = 1000$. L’ordre de grandeur est $1000$.

Correction de l’Exercice 10 :
a) Je fais la multiplication en premier. $4 \times 5 = 20$. Puis l’addition : $A = 12 + 20$. Donc $A = 32$.
b) Je commence par la parenthèse. $15 – 2,5 = 12,5$. Ensuite la multiplication : $B = 12,5 \times 2$. Donc $B = 25$.
c) La division est prioritaire sur la soustraction. $10 \div 2 = 5$. Puis la soustraction : $C = 50 – 5$. Donc $C = 45$.

Correction de l’Exercice 11 :
Calculons d’abord le prix des baguettes : $3 \times 1,15 = 3,45$ euros.
Calculons ensuite le prix des pains au chocolat : $2 \times 1,40 = 2,80$ euros.
Enfin, additionnons les deux montants : $3,45 + 2,80 = 6,25$ euros.
Le montant total des achats de Léa s’élève à $6,25$ euros.

Correction de l’Exercice 12 :
Calculons la longueur totale de ruban coupé par le couturier : $4 \times 2,5$ mètres. Comme $4 \times 25 = 100$, alors $4 \times 2,5 = 10$ mètres.
Soustrayons cette longueur coupée de la longueur totale du rouleau : $25 – 10 = 15$ mètres.
Il lui reste $15$ mètres de ruban sur son rouleau.

Correction de l’Exercice 13 :
Pour partager équitablement, nous devons effectuer une division. Nous voulons calculer $75 \div 4$.
Dans $75$, combien de fois $4$ ? Dans $7$ il y a une fois $4$, reste $3$. J’abaisse le $5$, on a $35$. Dans $35$, il y a huit fois $4$ ($32$), il reste $3$.
Je place la virgule au quotient, j’ajoute un zéro au reste qui devient $30$. Dans $30$, il y a sept fois $4$ ($28$), reste $2$.
J’ajoute encore un zéro, le reste devient $20$. Dans $20$, il y a cinq fois $4$, reste zéro.
Le quotient est $18,75$. Chaque ami devra payer $18,75$ euros.

Correction de l’Exercice 14 :
Ce problème complexe nécessite plusieurs étapes de calcul.
Étape 1 : Le coût de la location des bus. Il y a 2 bus à $345,50$ euros. On calcule $345,50 \times 2 = 691$ euros.
Étape 2 : Le coût des billets pour le musée. Il y a 50 élèves et le billet coûte $4,50$ euros. On calcule $50 \times 4,50$. (Astuce : $5 \times 45 = 225$). Le coût est de $225$ euros.
Étape 3 : Le coût total de la sortie. On additionne les deux dépenses. $691 + 225 = 916$ euros.
Le coût total de la sortie scolaire pour le collège sera de $916$ euros.

Correction de l’Exercice 15 :
Ce dernier problème fait appel à la géométrie et à la proportionnalité des prix.
Premièrement, calculons l’aire du salon rectangulaire. La formule est Longueur $\times$ largeur. On calcule donc $5,5 \times 4$. On fait $55 \times 4 = 220$, avec un chiffre après la virgule, cela donne $22,0$. La surface de la pièce est donc de $22$ mètres carrés.
Deuxièmement, calculons le prix total. Si un mètre carré coûte $15,50$ euros, alors $22$ mètres carrés coûteront $22 \times 15,50$.
Je pose la multiplication sans les virgules : $155 \times 22$. $155 \times 2 = 310$. $155 \times 20 = 3100$. Total : $3100 + 310 = 3410$.
Il y avait un chiffre après la virgule dans $15,50$ (si on l’écrit $15,5$). Je place la virgule dans $3410$ pour obtenir un chiffre après : cela donne $341,0$.
Le prix total que Monsieur Martin devra payer pour son parquet est exactement de $341$ euros.