Lien entre Connexité et Connexité par Arcs
Les notions de connexité et de connexité par arcs sont intimement liées. La connexité par arcs est une condition plus forte, plus « géométrique », qui implique la connexité. Cependant, l’implication inverse n’est pas toujours vraie, ce qui mène à des exemples intéressants en topologie.
Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.
Démonstration par l’absurde
Soit $X$ un espace connexe par arcs. Supposons que $X$ ne soit pas connexe.
- Par définition d’un espace non connexe, il existe deux ouverts non vides et disjoints, $U$ and $V$, tels que $X = U \cup V$.
- Puisque $U$ et $V$ sont non vides, choisissons un point $a \in U$ et un point $b \in V$.
- Comme $X$ est connexe par arcs, il existe un chemin continu $\gamma: [0, 1] \to X$ tel que $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$.
- L’image du chemin, $C = \gamma([0, 1])$, est l’image d’un connexe (l’intervalle $[0, 1]$) par une application continue. $C$ est donc une partie connexe de $X$.
- Considérons les ensembles $C \cap U$ et $C \cap V$. Ce sont des ouverts de $C$ (pour la topologie induite).
- $a \in C \cap U$, donc $C \cap U \neq \emptyset$.
- $b \in C \cap V$, donc $C \cap V \neq \emptyset$.
- $(C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap (U \cap V) = C \cap \emptyset = \emptyset$.
- $(C \cap U) \cup (C \cap V) = C \cap (U \cup V) = C \cap X = C$.
- Nous avons écrit le connexe $C$ comme une union de deux ouverts non vides et disjoints. Cela signifie que $C$ n’est pas connexe, ce qui est une contradiction.
Conclusion : L’hypothèse de départ est fausse. L’espace $X$ est donc connexe.
La Réciproque est Fausse
Un espace connexe n’est pas nécessairement connexe par arcs.
Contre-Exemple : La Courbe du Topologue
L’exemple le plus célèbre est la courbe du topologue (ou sinus du topologue). C’est le sous-ensemble de $\mathbb{R}^2$ défini par : $$ S = \left\{ \left(x, \sin\left(\frac{1}{x}\right)\right) \mid x \in ]0, 1] \right\} \cup \{ (0, y) \mid y \in [-1, 1] \} $$
- Cet espace est connexe. La première partie (le graphe de la fonction sinus) est l’image continue de l’intervalle connexe $]0, 1]$, elle est donc connexe. L’ensemble $S$ est l’adhérence de cette partie connexe, et l’adhérence d’un connexe est toujours un connexe.
- Cet espace n’est pas connexe par arcs. Il est impossible de trouver un chemin continu reliant un point du segment vertical (par exemple $(0, 0)$) à un point de la courbe oscillante (par exemple $(1/\pi, 0)$). Toute tentative de créer un tel chemin « exploserait » en oscillations infinies à l’approche de l’axe des ordonnées.