Lien entre Limite et Continuité
Les notions de limite et de continuité sont indissociables. En réalité, la continuité est une condition plus forte que la simple existence d’une limite. Elle exige non seulement que la fonction se « rapproche » d’une valeur en un point, mais aussi que cette valeur soit précisément celle que la fonction prend en ce point.
1. La Continuité Définie par la Limite
La manière la plus directe de définir la continuité est de s’appuyer sur la notion de limite.
Soit $f: A \to \mathbb{R}^n$ une fonction et $a \in A$. La fonction $f$ est dite continue en $a$ si et seulement si : $$ \lim_{x \to a} f(x) = f(a) $$
Cette définition concise contient en réalité trois conditions implicites :
- La fonction doit être définie au point $a$ (c’est-à-dire $a \in A$).
- La fonction doit avoir une limite $L$ quand $x$ tend vers $a$.
- Cette limite $L$ doit être exactement égale à $f(a)$.
2. Caractérisation Séquentielle
Le lien entre limite et continuité se traduit aussi en termes de suites. Cette « caractérisation séquentielle » est très utile pour les démonstrations théoriques.
Soit $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $a \in A$. Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $f$ est continue en $a$.
- Pour toute suite $(x_k)_{k \in \mathbb{N}}$ d’éléments de $A$ qui converge vers $a$, la suite des images $(f(x_k))_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $f(a)$. $$ \left( \lim_{k \to \infty} x_k = a \right) \implies \left( \lim_{k \to \infty} f(x_k) = f(a) \right) $$
Ce théorème signifie qu’une fonction continue « commute » avec le passage à la limite pour les suites : $\lim f(x_k) = f(\lim x_k)$. C’est un outil puissant pour prouver qu’une fonction n’est pas continue : il suffit de trouver une suite $x_k \to a$ pour laquelle $f(x_k)$ ne tend pas vers $f(a)$.
3. Le Prolongement par Continuité
Le concept de « prolongement par continuité » est l’illustration parfaite du lien entre limite et continuité. Il s’applique lorsqu’une fonction a une limite en un point où elle n’est pas définie, créant un « trou » dans son graphe que l’on peut « reboucher ».
Soit $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $a$ un point adhérent à $A$ tel que $a \notin A$.
Si la limite $L = \lim_{x \to a} f(x)$ existe et est finie, on dit que $f$ est prolongeable par continuité en $a$.
Le prolongement de $f$ est la nouvelle fonction $\tilde{f}: A \cup \{a\} \to \mathbb{R}^n$ définie par :
$$ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \in A \\ L & \text{si } x=a \end{cases} $$
Par construction, la fonction $\tilde{f}$ est continue en $a$.
Exemple
Soit la fonction $f(x,y) = (x+y) \sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$ définie sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$.
Étudions sa limite en $(0,0)$.
$$ |f(x,y)| = |x+y| \left| \sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right) \right| $$
Comme $|\sin(u)| \le 1$ pour tout $u$, on a :
$$ |f(x,y)| \le |x+y| \le |x| + |y| $$
Or, $\lim_{(x,y) \to (0,0)} (|x|+|y|) = 0$. Par le théorème d’encadrement, $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = 0$.
La limite existe et vaut $L=0$. On peut donc prolonger $f$ par continuité en $(0,0)$ en posant $\tilde{f}(0,0)=0$.
4. Définition Topologique de la Continuité
Enfin, il existe une définition plus générale de la continuité qui ne fait pas appel aux limites, mais aux notions d’ensembles ouverts et fermés. Elle est équivalente dans le cadre de $\mathbb{R}^n$.
Une fonction $f: A \to \mathbb{R}^n$ est continue sur $A$ si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert de $\mathbb{R}^n$ est un ouvert de $A$. $$ \forall V \text{ ouvert de } \mathbb{R}^n, \quad f^{-1}(V) = \{ x \in A \mid f(x) \in V \} \text{ est un ouvert de } A $$ Une caractérisation équivalente existe avec les ensembles fermés.
Cette définition montre que les fonctions continues sont précisément celles qui « respectent » la structure topologique des espaces.