Les lignes asymptotiques sont des droites qui approchent une courbe à l’infini, fournissant une approximation linéaire du comportement de la fonction.

Nous définissons précisément cette notion pour une fonction f définie sur un intervalle non borné. Une droite d d’équation y = mx + p est une asymptote à la courbe représentative de f en un point à l’infini si la distance entre un point de la courbe et son projeté orthogonal sur d tend vers 0 lorsque l’abscisse tend vers l’infini (ou l’opposé de l’infini) selon le contexte.

Définitions formelles des asymptotes

Considérons une fonction f: ]a, +∞[ → ℝ, dérivable, dont la courbe est notée Γ_f.

Asymptote parallèle à l’axe des ordonnées (asymptote verticale)

La droite d’équation x = α est une asymptote verticale de Γ_f si et seulement si l’une des limites suivantes est infinie :

$$
\lim_{x \to \alpha^-} f(x) = \pm \infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to \alpha^+} f(x) = \pm \infty
$$

La courbe se rapproche indéfiniment de cette droite sans la toucher généralement.

Asymptote parallèle à l’axe des abscisses (asymptote horizontale)

La droite d’équation y = b est une asymptote horizontale de Γ_f en +∞ si :

$$
\lim_{x \to +\infty} f(x) = b
$$

La définition est similaire en -∞. La courbe se rapproche de cette droite horizontale quand |x| devient très grand.

Asymptote oblique (ou de l’infini)

C’est le cas le plus subtil. La droite d: y = mx + p (m ≠ 0) est une asymptote oblique de Γ_f en +∞ si simultanément :

$$
\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (mx + p)] = 0
$$

Cette condition signifie que, pour x suffisamment grand, la différence entre l’ordonnée du point de la courbe et celle du point de d de même abscisse tend vers 0. Elle est équivalente aux deux conditions particulières suivantes :

$$
\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} [f(x) – mx] = p
$$

L’angle φ que l’asymptote oblique fait avec l’axe des abscisses vérifie tan(φ) = m. Lorsque m est nul, on retrouve le cas d’une asymptote horizontale.

Théorèmes et propriétés fondamentales

La recherche d’asymptotes s’appuie sur des résultats d’analyse sur les limites.

Théorème d’existence d’une asymptote oblique (cas des fonctions rationnelles)

Théorème : Soit f une fonction rationnelle, c’est-à-dire f(x) = P(x) / Q(x) où P et Q sont des polynômes à coefficients réels, Q non nul. Supposons que le degré de P est exactement égal à celui de Q plus 1. Alors la courbe de f admet une asymptote oblique en ±∞. Cette asymptote est la droite d’équation y = mx + p où m et p sont le quotient et le reste de la division euclidienne de P par Q.

Preuve : Par division euclidienne des polynômes, il existe un polynôme Q₁ de degré 1 tel que P(x) = Q(x) · Q₁(x) + R(x), où deg(R) < deg(Q). Posons Q₁(x) = mx + p. Alors :
$$
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{Q(x) \cdot (mx + p) + R(x)}{Q(x)} = mx + p + \frac{R(x)}{Q(x)}
$$
Comme deg(R) < deg(Q), on a : $$ \lim_{x \to \pm\infty} \frac{R(x)}{Q(x)} = 0 $$ Par conséquent, $$ \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) – (mx + p)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{R(x)}{Q(x)} = 0 $$ Ce qui prouve que y = mx + p est asymptote en ±∞. ⊓

Théorème sur l’unicité de l’asymptote oblique

Théorème : Si une courbe Γ admet une asymptote oblique en +∞ (ou en -∞), alors cette asymptote est unique.

Preuve : Supposons qu’il existe deux asymptotes obliques distinctes d₁: y = m₁x + p₁ et d₂: y = m₂x + p₂ en +∞. Par définition :
$$
\lim_{x \to +\infty} [f(x) – (m_1 x + p_1)] = 0 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to +\infty} [f(x) – (m_2 x + p_2)] = 0
$$
En soustrayant ces deux limites, on obtient :
$$
\lim_{x \to +\infty} [(m_2 – m_1)x + (p_2 – p_1)] = 0
$$
Cette limite ne peut être nulle que si m₂ – m₁ = 0 et p₂ – p₁ = 0. Sinon, le terme linéaire en x divergerait. Donc m₁ = m₂ et p₁ = p₂, les droites sont confondues. L’asymptote oblique est unique. ⊓

Exemples et contre-exemples

Exemple 1 : Fonction rationnelle

Soit f(x) = (2x² + 3x – 1) / (x – 2). Le degré du numérateur (2) est exactement égal à celui du dénominateur (1) plus 1. L’asymptote oblique en ±∞ est donnée par le quotient de la division euclidienne de 2x² + 3x – 1 par x – 2.

Exemple 2 : Fonction sans asymptote oblique

Considérons f(x) = √(x² + 1). Tentons de trouver une asymptote oblique en +∞ :

Calcul de m : lim_x→+∞ f(x)/x = lim_x→+∞ √(1 + 1/x²) = 1. Donc m = 1.

Calcul de p : lim_x→+∞ [√(x² + 1) – x]. Cette limite est de la forme ∞ – ∞. Rationalisons :
$$
\sqrt{x^2+1} – x = \frac{(\sqrt{x^2+1} – x)(\sqrt{x^2+1} + x)}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{(x^2+1) – x^2}{\sqrt{x^2+1} + x} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1} + x}
$$
Ainsi, lim_x→+∞ [√(x² + 1) – x] = lim_x→+∞ 1/(√(x²+1) + x) = 0.

Donc p = 0. La droite y = x est une asymptote oblique en +∞. De même en -∞, on trouve l’asymptote y = -x.

Contre-exemple : Absence d’asymptote oblique

Soit f(x) = x + sin(x). On a lim_x→∞ f(x)/x = 1. Calculons p : lim_x→∞ [f(x) – x] = lim_x→∞ sin(x). Cette limite n’existe pas (la fonction sin est oscillante). Par conséquent, f n’admet pas d’asymptote oblique en +∞, bien que la pente potentielle (m=1) existe. La condition sur la limite de la différence doit être satisfaite.

Conclusion et synthèse

La recherche des lignes asymptotiques repose sur le calcul systématique de trois limites fondamentales en ±∞ pour établir l’existence et déterminer l’équation d’une asymptote oblique : lim f(x)/x pour la pente m, et lim [f(x) – mx] pour l’ordonnée à l’origine p. Pour un complément d’exercices et des cours détaillés sur l’analyse des fonctions, consultez les ressources pédagogiques de KeepMath. Les archives de CultureMATH offrent également des dossiers historiques et conceptuels approfondis sur ces notions.