Définition formelle des lignes de courbure
Soit \( \mathcal{S} \) une surface régulière de \( \mathbb{R}^3 \) paramétrée localement par \( \mathbf{r}(u,v) \). Les lignes de courbure sont les courbes tracées sur \( \mathcal{S} \) dont le vecteur tangent en chaque point est colinéaire à l’une des deux directions principales de la surface en ce point.
Les directions principales sont les vecteurs propres de la forme différentielle de Weingarten \( \mathrm{d}\mathbf{N} \), où \( \mathbf{N} \) est la normale unitaire. Elles sont caractérisées par les équations suivantes, où \( E,F,G \) sont les coefficients de la première forme fondamentale et \( e,f,g \) ceux de la seconde :
$$ \frac{E du + F dv}{F du + G dv} = \frac{e du + f dv}{f du + g dv} $$
Cette condition équivaut à l’équation différentielle implicite :
\begin{align*}
(fG – gF) \, du^2 + (eG – 2fF + gE) \, du \, dv – (eF – fE) \, dv^2 &= 0.
\end{align*}
Théorème de l’existence locale et orthogonalité
En tout point non umbilique d’une surface, il existe exactement deux directions principales orthogonales pour la métrique de la surface. Par conséquent, localement, les lignes de courbure forment deux réseaux orthogonaux.
Preuve
Preuve : La forme différentielle \( \mathrm{d}\mathbf{N} \) est symétrique par rapport à la première forme fondamentale \( \mathrm{I} \). Ses valeurs propres \( k_1, k_2 \) sont les courbures principales. Les vecteurs propres associés sont orthogonaux pour \( \mathrm{I} \). En un point non umbilique (\( k_1 \neq k_2 \)), ils forment une base orthogonale du plan tangent. L’équation caractéristique donnant \( du/dv \) est un trinôme de degré deux ; elle admet deux solutions réelles distinctes correspondant aux deux directions principales. Ainsi, par le théorème de Cauchy-Lipschitz, il existe localement deux familles de courbes intégrales traversant le point, chacune tangente à l’une des directions. Ces courbes sont les lignes de courbure. \( \blacksquare \)
Exemples fondamentaux
Sphère de rayon \( R \)
Toutes les courbes tracées sur une sphère sont des lignes de courbure. En effet, en tout point, les deux courbures principales sont égales (\( k_1 = k_2 = 1/R \)) : la sphère est umbilicée. Ainsi, toute direction est principale.
Cylindre droit de rayon \( R \)
Les deux familles de lignes de courbure sont :
- Les génératrices (droites parallèles à l’axe) : \( v = \text{constante} \).
- Les sections circulaires (cercles perpendiculaires à l’axe) : \( u = \text{constante} \).
Le long d’une génératrice, la courbure principale nulle correspond à la direction tangente ; la courbure \( 1/R \) correspond à la direction radiale. Inversement pour les cercles.
Contre-exemple : point parapluie
Sur une surface présentant un point parapluie (comme une selle à motif très particulier), les deux courbures principales sont de signes opposés, mais leur valeurs absolues peuvent coïncider en un point isolé sans que ce point soit umbilic au sens classique. En un tel point, l’équation différentielle des lignes de courbure peut cesser d’être de.type hyperbolique, et il n’existe pas localement deux réseaux orthogonaux distincts. L’exemple typique est le point de la surfacesinus\( (u) \sin(v) \) en \( (0,0) \).
Applications et théorème de Dupin
Le long d’une ligne de courbure d’une famille, les courbes de l’autre famille restent des lignes de courbure. C’est le théorème de Dupin pour les surfaces cyclides. Il se généralise aux surfaces dont les lignes de courbure forment un réseau conjugué.
Les lignes de courbure jouent un rôle central en géométrie différentielle, en modélisation surfacique et en mécanique des milieux continus où elles indiquent les directions de flambage naturel.
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