Notion de Limite d’une Fonction
La notion de limite est le socle sur lequel repose tout le calcul différentiel. Pour les fonctions d’une seule variable, la limite décrit le comportement de la fonction lorsque son argument s’approche d’un point. Pour les fonctions de plusieurs variables, l’idée est la même, mais la situation est plus complexe : on peut s’approcher d’un point dans l’espace de départ depuis une infinité de directions.
1. Définition Formelle de la Limite
La définition formelle, dite « epsilon-delta », est une généralisation directe de celle des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Elle remplace simplement la valeur absolue (qui est la norme sur $\mathbb{R}$) par une norme quelconque sur les espaces de départ et d’arrivée.
Soit $f: A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ une fonction, et soit $a$ un point de l’adhérence de $A$. Soit $L$ un vecteur de $\mathbb{R}^n$.
On dit que la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ est $L$, et on note $\lim_{x \to a} f(x) = L$, si :
$$ \forall \varepsilon > 0, \quad \exists \delta > 0, \quad \forall x \in A, \quad (0 < \|x-a\|_p < \delta \implies \|f(x)-L\|_n < \varepsilon) $$
Intuitivement : On peut rendre $f(x)$ aussi proche que l’on veut de $L$ (à une distance $\varepsilon$ près) à condition de prendre $x$ suffisamment proche de $a$ (à une distance $\delta$ près), quelle que soit la manière dont $x$ s’approche de $a$.
Remarque sur les normes : Grâce au théorème de l’équivalence des normes en dimension finie, le choix d’une norme particulière (euclidienne, de Manhattan, etc.) dans $\mathbb{R}^p$ et $\mathbb{R}^n$ ne change rien à l’existence ou à la valeur de la limite. On choisit généralement la plus pratique pour les calculs.
Si la limite d’une fonction en un point existe, alors elle est unique.
2. Le Théorème Fondamental : Limite par Composantes
Comme pour la continuité, l’étude de la limite d’une fonction vectorielle se ramène à l’étude des limites de ses fonctions composantes, qui sont des fonctions scalaires. C’est le résultat le plus important en pratique.
Soit $f = (f_1, \dots, f_n): A \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^n$ et $L = (L_1, \dots, L_n) \in \mathbb{R}^n$. On a l’équivalence : $$ \lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall i \in \{1, \dots, n\}, \quad \lim_{x \to a} f_i(x) = L_i $$
3. Critère de Non-Existence d’une Limite
Une conséquence majeure de la définition est que si la limite existe, sa valeur doit être la même quel que soit le chemin suivi pour s’approcher du point $a$. C’est un critère très puissant pour démontrer qu’une limite n’existe pas.
[Image de différents chemins vers l’origine dans le plan xy]S’il existe deux chemins (deux arcs continus) $\gamma_1(t)$ et $\gamma_2(t)$ tendant vers $a$ tels que : $$ \lim_{t \to t_0} f(\gamma_1(t)) \neq \lim_{t \to t_0} f(\gamma_2(t)) $$ alors la limite $\lim_{x \to a} f(x)$ n’existe pas.
Exemple Classique
Étudions la limite en $(0,0)$ de la fonction $f: \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = \frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2}$.
- Approche selon l’axe des abscisses : On pose $y=0$ (et $x \to 0$). $$ \lim_{x \to 0} f(x, 0) = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 – 0^2}{x^2 + 0^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1 $$
- Approche selon l’axe des ordonnées : On pose $x=0$ (et $y \to 0$). $$ \lim_{y \to 0} f(0, y) = \lim_{y \to 0} \frac{0^2 – y^2}{0^2 + y^2} = \lim_{y \to 0} \frac{-y^2}{y^2} = -1 $$
Comme nous avons trouvé deux limites différentes en suivant deux chemins différents, nous pouvons conclure que la limite de $f(x,y)$ en $(0,0)$ n’existe pas.
4. Opérations sur les Limites
Sous réserve d’existence, les limites se comportent bien avec les opérations algébriques usuelles. Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ :
- Somme : $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = L + M$.
- Produit par un scalaire : $\lim_{x \to a} (\lambda f(x)) = \lambda L$ pour $\lambda \in \mathbb{R}$.
- Produit scalaire : $\lim_{x \to a} \langle f(x), g(x) \rangle = \langle L, M \rangle$.
- Composition : Si $h$ est une fonction continue en $L$, alors $\lim_{x \to a} h(f(x)) = h(L)$.