Limites
Soient $x_0 \in \mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur un voisinage de $x_0$ (sauf peut-être en $x_0$ même). On dit que $f$ a pour limite le réel $l$ au point $x_0$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (\forall x \in D_f, 0 < |x-x_0| < \delta) \implies |f(x)-l| < \epsilon $$ On écrit alors $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$.
On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ au point $x_0$ si : $$ \forall A > 0, \exists \delta > 0 \text{ tel que } (\forall x \in D_f, 0 < |x-x_0| < \delta) \implies f(x) > A $$ On écrit $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$. La définition pour $-\infty$ est analogue.
- On dit que $f$ admet pour limite $l$ à droite en $a$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists \eta > 0 \text{ tel que } (x \in D_f \text{ et } 0 < x-a < \eta) \implies |f(x)-l| < \epsilon $$ On note $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$.
- La définition de la limite à gauche est similaire, avec la condition $0 < a-x < \eta$.
Remarque
Une fonction possède une limite en un point si et seulement si elle possède en ce point des limites à droite et à gauche qui sont égales.
- On dit que $f$ admet pour limite $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $$ \forall \epsilon > 0, \exists B > 0 \text{ tel que } (x > B) \implies |f(x)-l| < \epsilon $$
- On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ si : $$ \forall A > 0, \exists B > 0 \text{ tel que } (x > B) \implies f(x) > A $$
Les définitions pour $x \to -\infty$ sont analogues.
Si une fonction admet une limite (finie ou infinie) en un point (fini ou infini), alors cette limite est unique.
Propriétés des Limites et Opérations
Soient $f$ et $g$ deux fonctions telles que $\lim_{x \to x_0} f(x) = l$ et $\lim_{x \to x_0} g(x) = l’$, avec $l, l’ \in \mathbb{R}$. Alors :
- $\lim_{x \to x_0} (f+g)(x) = l+l’$.
- $\lim_{x \to x_0} (\lambda f)(x) = \lambda l$ pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$.
- $\lim_{x \to x_0} (fg)(x) = ll’$.
- Si $l \neq 0$, alors $\lim_{x \to x_0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{l}$.
- Si $f(x) \ge 0$ sur un voisinage de $x_0$, alors $l \ge 0$.
Remarque : Formes Indéterminées
Les propriétés précédentes ne permettent pas de conclure dans certains cas, appelés formes indéterminées. Les plus courantes sont : $$ +\infty – \infty, \quad 0 \times \infty, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \frac{0}{0}, \quad 1^\infty, \quad \infty^0, \quad 0^0 $$ Pour lever ces indéterminations, des techniques spécifiques comme la règle de l’Hôpital, les fonctions équivalentes ou les développements limités sont nécessaires.