Définition de l’Intégrale Curviligne
L’intégrale curviligne (ou intégrale de ligne) généralise l’intégrale simple d’une fonction d’une variable au cas où le domaine d’intégration n’est plus un segment de droite, mais une courbe dans le plan ou dans l’espace. On distingue deux grands types d’intégrales curvilignes, selon que la fonction à intégrer est un champ scalaire ou un champ de vecteurs.
1. Intégrale Curviligne d’un Champ Scalaire
Ce premier type d’intégrale permet de « sommer » les valeurs d’une fonction scalaire $f(x,y)$ le long d’une courbe $\mathcal{C}$.
Interprétation géométrique : Si $f(x,y) \ge 0$, l’intégrale curviligne $\int_\mathcal{C} f(x,y) \,ds$ représente l’aire d’un « rideau » ou d’une « clôture » dont la base est la courbe $\mathcal{C}$ et dont la hauteur en chaque point $(x,y)$ de la courbe est donnée par $f(x,y)$.
[Image d’une surface en forme de rideau au-dessus d’une courbe]
Soit $f$ un champ scalaire continu et $\mathcal{C}$ une courbe lisse paramétrée par une fonction vectorielle $\vec{r}(t)$ pour $t \in [a,b]$.
L’intégrale curviligne de $f$ le long de $\mathcal{C}$ est définie par :
$$ \int_\mathcal{C} f(x,y,z) \,ds = \int_a^b f(\vec{r}(t)) \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt $$
où $ds = \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt$ est l’élément de longueur d’arc.
2. Intégrale Curviligne d’un Champ de Vecteurs
Ce second type d’intégrale est fondamental en physique. Il permet de calculer le travail effectué par un champ de force $\vec{F}$ pour déplacer une particule le long d’une trajectoire $\mathcal{C}$.
Interprétation physique : En chaque point de la trajectoire, seule la composante de la force qui est tangente au déplacement contribue au travail. On somme donc le produit scalaire du vecteur force $\vec{F}$ et du vecteur déplacement infinitésimal $d\vec{r}$.
[Image d’un champ de vecteurs avec une courbe le traversant]
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs continu et $\mathcal{C}$ une courbe lisse orientée, paramétrée par $\vec{r}(t)$ pour $t \in [a,b]$.
L’intégrale curviligne de $\vec{F}$ le long de $\mathcal{C}$ (aussi appelée circulation de $\vec{F}$) est définie par :
$$ \int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t) \,dt $$
où $d\vec{r} = \vec{r}\,'(t) \,dt$ est le vecteur déplacement infinitésimal.
Si $\vec{F}=(P,Q)$, l’intégrale est souvent notée : $$ \int_\mathcal{C} P \,dx + Q \,dy $$
3. Orientation de la Courbe
Contrairement à l’intégrale d’un champ scalaire, l’intégrale d’un champ de vecteurs dépend de l’orientation (le sens de parcours) de la courbe.
Si $-\mathcal{C}$ désigne la même courbe que $\mathcal{C}$ mais parcourue dans le sens opposé, alors : $$ \int_{-\mathcal{C}} \vec{F} \cdot d\vec{r} = – \int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{r} $$ Le travail est de signe opposé si l’on parcourt le chemin en sens inverse.