Définition de l’Intégrale de Surface
Tout comme l’intégrale curviligne étend l’intégration aux courbes, l’intégrale de surface étend l’intégration à des surfaces courbes dans l’espace $\mathbb{R}^3$. Elle permet de « sommer » une quantité (scalaire ou vectorielle) sur une surface. On distingue deux types d’intégrales de surface, analogues aux deux types d’intégrales curvilignes.
1. Intégrale de Surface d’un Champ Scalaire
Cette intégrale permet de calculer la « masse » totale d’une surface dont la densité varie, ou l’aire d’une surface paramétrée. L’idée est de sommer la valeur du champ scalaire $f$ multipliée par un petit élément d’aire $dS$.
Soit $f$ un champ scalaire continu et $S$ une surface lisse paramétrée par $\vec{r}(u,v)$ pour $(u,v) \in D$.
L’intégrale de surface de $f$ sur $S$ est définie par :
$$ \iint_S f(x,y,z) \,dS = \iint_D f(\vec{r}(u,v)) \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv $$
où $dS = \|\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v\| \,du \,dv$ est l’élément d’aire.
Application : Si $f=1$, on retrouve la formule de l’aire de la surface. Si $f$ est une densité de masse surfacique, l’intégrale donne la masse totale de la surface.
2. Intégrale de Surface d’un Champ de Vecteurs (Flux)
C’est l’application la plus importante en physique. L’intégrale de surface d’un champ de vecteurs $\vec{F}$ à travers une surface orientée $S$ mesure le flux de ce champ à travers la surface.
Interprétation physique : Si $\vec{F}$ représente le champ de vitesse d’un fluide, le flux est le volume de fluide qui traverse la surface par unité de temps. Si $\vec{F}$ est un champ électrique, le flux est lié au nombre de lignes de champ qui traversent la surface (théorème de Gauss).
[Image de lignes de champ traversant une surface]Pour calculer le flux, on ne s’intéresse qu’à la composante du champ de vecteurs qui est normale (perpendiculaire) à la surface. On somme donc le produit scalaire du vecteur $\vec{F}$ et du vecteur surface infinitésimal $d\vec{S}$, qui est orienté selon le vecteur normal.
Soit $\vec{F}$ un champ de vecteurs continu et $S$ une surface lisse orientée, paramétrée par $\vec{r}(u,v)$ pour $(u,v) \in D$.
Le flux de $\vec{F}$ à travers $S$ est défini par :
$$ \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_D \vec{F}(\vec{r}(u,v)) \cdot (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv $$
où $d\vec{S} = (\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v) \,du \,dv$ est le vecteur surface élémentaire.
3. Orientation de la Surface
Le flux dépend crucialement de l’orientation de la surface, c’est-à-dire du choix du vecteur normal. Une surface a deux côtés (un « intérieur » et un « extérieur » si elle est fermée). Le vecteur normal peut pointer d’un côté ou de l’autre.
- Le vecteur $\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v$ définit une orientation.
- Le vecteur $\vec{r}_v \wedge \vec{r}_u = -(\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v)$ définit l’orientation opposée.
Changer l’orientation de la surface change le signe du flux : $$ \iint_{S_{opposee}} \vec{F} \cdot d\vec{S} = – \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} $$ Par convention, pour une surface fermée (comme une sphère), l’orientation positive est celle où le vecteur normal pointe vers l’extérieur.