Définition de l’Intégrale Double
Tout comme l’intégrale simple d’une fonction d’une variable permet de calculer l’aire sous une courbe, l’intégrale double d’une fonction de deux variables $f(x,y)$ permet de calculer le volume sous la surface d’équation $z=f(x,y)$. C’est la première étape vers la généralisation de l’intégration aux dimensions supérieures.
1. Construction par les Sommes de Riemann
L’idée est de découper le volume en une multitude de petits « pavés » verticaux et de sommer leurs volumes.
- On considère une fonction $f(x,y)$ positive, définie sur un domaine rectangulaire $D = [a,b] \times [c,d]$ dans le plan $(x,y)$.
- On subdivise ce rectangle en un grand nombre de petits rectangles $R_{ij}$ d’aire $\Delta A = \Delta x \cdot \Delta y$.
- Au-dessus de chaque petit rectangle $R_{ij}$, le volume sous la surface est approximativement celui d’un pavé droit. On choisit un point échantillon $(x_i^*, y_j^*)$ dans $R_{ij}$ et on prend comme hauteur du pavé la valeur de la fonction en ce point, $f(x_i^*, y_j^*)$.
- Le volume de ce petit pavé est $V_{ij} \approx f(x_i^*, y_j^*) \cdot \Delta A$.
- Le volume total sous la surface est alors approximé par la somme des volumes de tous ces pavés. C’est une somme de Riemann double : $$ V \approx \sum_i \sum_j f(x_i^*, y_j^*) \Delta A $$
L’intégrale double de $f$ sur le domaine $D$ est la limite de la somme de Riemann double lorsque la taille des subdivisions tend vers zéro : $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \lim_{\Delta x, \Delta y \to 0} \sum_i \sum_j f(x_i^*, y_j^*) \Delta A $$ Si $f(x,y) \ge 0$, cette intégrale représente le volume du solide délimité par le domaine $D$ en bas, la surface $z=f(x,y)$ en haut, et les plans verticaux au-dessus des bords de $D$.
2. Le Théorème de Fubini pour le Calcul Pratique
Le calcul des intégrales doubles via la limite des sommes de Riemann est impraticable. Heureusement, le théorème de Fubini nous permet de ramener le calcul d’une intégrale double à deux intégrales simples successives, appelées intégrales itérées.
Si $f$ est une fonction continue sur un domaine rectangulaire $D = [a,b] \times [c,d]$, alors : $$ \iint_D f(x,y) \,dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x,y) \,dy \right) \,dx = \int_c^d \left( \int_a^b f(x,y) \,dx \right) \,dy $$
Interprétation : Pour calculer le volume, on peut d’abord « trancher » le solide par des plans parallèles au plan $(y,z)$. L’intégrale intérieure $\int_c^d f(x,y) \,dy$ (où $x$ est fixé) calcule l’aire $A(x)$ de la tranche. Ensuite, l’intégrale extérieure $\int_a^b A(x) \,dx$ « somme » les aires de toutes ces tranches pour donner le volume total. On peut bien sûr inverser l’ordre des découpes.
Exemple de Calcul
Calculer $\iint_D (x^2y)$ sur le domaine $D = [0,2] \times [1,3]$.
Première méthode (intégration par rapport à $y$ d’abord) :
$$ \int_0^2 \left( \int_1^3 x^2y \,dy \right) \,dx = \int_0^2 \left[ x^2 \frac{y^2}{2} \right]_1^3 \,dx = \int_0^2 x^2 \left( \frac{9}{2} – \frac{1}{2} \right) \,dx = \int_0^2 4x^2 \,dx = \left[ \frac{4x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{32}{3} $$Seconde méthode (intégration par rapport à $x$ d’abord) :
$$ \int_1^3 \left( \int_0^2 x^2y \,dx \right) \,dy = \int_1^3 \left[ y \frac{x^3}{3} \right]_0^2 \,dy = \int_1^3 y \left( \frac{8}{3} – 0 \right) \,dy = \int_1^3 \frac{8}{3}y \,dy = \left[ \frac{8}{3} \frac{y^2}{2} \right]_1^3 = \frac{4}{3}(9-1) = \frac{32}{3} $$ On retrouve bien le même résultat.