Fonction Logarithme de Base a
Soit $a$ un nombre réel strictement positif et différent de 1 ($a>0, a \neq 1$). On appelle fonction logarithme de base a, notée $\log_a$, la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par : $$ \log_a(x) = \frac{\ln x}{\ln a} $$
Remarques
- Si $a=e$, on retrouve le logarithme népérien : $\log_e(x) = \ln x$.
- Si $a=10$, on obtient le logarithme décimal, souvent noté $\log(x)$.
La fonction $\log_a$ est continue, dérivable et strictement monotone sur $]0, +\infty[$. Pour $x, y > 0$ et $r \in \mathbb{Q}$, elle vérifie :
- $(\log_a x)’ = \frac{1}{x \ln a}$.
- $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$.
- $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a x – \log_a y$.
- $\log_a(x^r) = r \log_a x$.
Le sens de variation dépend de la base $a$ :
- Si $a > 1$, $\ln a > 0$ et la fonction $\log_a$ est strictement croissante.
- Si $0 < a < 1$, $\ln a < 0$ et la fonction $\log_a$ est strictement décroissante.
Fonctions Exponentielles de Base a
Puisque la fonction $\log_a$ est continue et strictement monotone, elle réalise une bijection de $]0, +\infty[$ sur $\mathbb{R}$. Sa fonction réciproque est appelée fonction exponentielle de base a, notée $\exp_a$.
Par définition, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $y \in ]0, +\infty[$ : $$ y = \exp_a(x) \iff x = \log_a(y) = \frac{\ln y}{\ln a} $$ Cette équivalence nous donne $\ln y = x \ln a$, d’où $y = e^{x \ln a}$.
Notation Puissance
On a donc $\exp_a(x) = e^{x \ln a}$. Pour un $x$ rationnel, on sait que $e^{x \ln a} = e^{\ln(a^x)} = a^x$. Par convention, on étend cette notation à tous les réels : $$ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \exp_a(x) = a^x = e^{x \ln a} $$
Pour $a>0, b>0$ et $x,y \in \mathbb{R}$ :
- $a^x a^y = a^{x+y}$
- $(a^x)^y = a^{xy}$
- $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$
- $(ab)^x = a^x b^x$
La fonction $x \mapsto a^x$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée : $$ (a^x)’ = (e^{x \ln a})’ = (\ln a) e^{x \ln a} = (\ln a) a^x $$