Lois de Composition Externe
Contrairement à une loi de composition interne qui combine deux éléments d’un même ensemble, une loi de composition externe fait interagir les éléments de deux ensembles différents. L’un des ensembles fournit les « opérateurs » (souvent appelés scalaires) et l’autre les « opérandes » (souvent des vecteurs). Le résultat de l’opération reste dans l’ensemble des opérandes.
Soient $\Omega$ et $E$ deux ensembles non vides. Une loi de composition externe (ou LCE) sur $E$ à opérateurs dans $\Omega$ est une application de $\Omega \times E$ dans $E$. $$ \begin{array}{rcl} \cdot \, : \, \Omega \times E & \to & E \\ (\lambda, x) & \mapsto & \lambda \cdot x \end{array} $$ L’ensemble $\Omega$ est appelé l’ensemble des scalaires (ou opérateurs), et $E$ est l’ensemble des vecteurs (ou opérandes).
Points Clés de la Définition
- Externe : Le mot « externe » vient du fait que les opérateurs ($\lambda$) proviennent d’un ensemble $\Omega$ qui peut être différent de $E$.
- Stabilité : Le résultat de l’opération, $\lambda \cdot x$, doit toujours appartenir à l’ensemble $E$.
Exemples Fondamentaux
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La multiplication par un scalaire : C’est l’exemple le plus important. Si $E$ est un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ (par exemple $\mathbb{R}$), alors la multiplication d’un vecteur $x \in E$ par un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une LCE.
Ici, $\Omega = \mathbb{K}$ et l’ensemble des vecteurs est $E$. Le résultat $\lambda \cdot x$ est bien un vecteur de $E$. - Action d’un groupe sur un ensemble : Si un groupe $(G, \star)$ agit sur un ensemble $E$, cette action est une loi de composition externe. Les scalaires sont les éléments de $G$ et les vecteurs sont les éléments de $E$.
- Multiplication d’une fonction par un réel : Soit $E = \mathcal{F}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ l’ensemble des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $\Omega = \mathbb{R}$. L’application $(\lambda, f) \mapsto \lambda f$ (où $(\lambda f)(x) = \lambda \times f(x)$) est une LCE.