Définition de la longueur d’un arc (rectifiabilité)

On dit que $\gamma$ est rectifiable sur $[a,b]$ si la borne supérieure suivante est finie :

où le supremum porte sur toutes les subdivisions $P$ de $[a,b]$.

Théorèmes et propriétés fondamentales

Formule intégrale de la longueur (cas $\mathcal{C}^1$)

Si $\gamma\in \mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R}^n)$, alors $\gamma$ est rectifiable et :

Additivité sur les intervalles

Si $a $$L(\gamma;[a,b])=L(\gamma;[a,c])+L(\gamma;[c,b]).$$

Invariance par reparamétrage monotone

Soit $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ de classe $\mathcal{C}^1$, strictement monotone, avec $\varphi(\alpha)=a$ et $\varphi(\beta)=b$. Alors :

Inégalité triangulaire globale (majoration Lipschitz)

Pour tout $a $$\|\gamma(b)-\gamma(a)\|\le L(\gamma;[a,b]).$$

Démonstrations rigoureuses

Démonstration de la formule intégrale $L=\int\|\gamma’\|$

Preuve :

Soit $\gamma\in\mathcal{C}^1([a,b],\mathbb{R}^n)$. Pour toute subdivision $P:\ a=t_0<\cdots $$\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)=\int_{t_i}^{t_{i+1}}\gamma'(t)\,dt.$$

Donc, par l’inégalité triangulaire dans $\mathbb{R}^n$ :

En sommant :

En prenant le supremum sur $P$, on obtient :

Réciproquement, fixons $\varepsilon>0$. Comme $\gamma’$ est continue sur le compact $[a,b]$, elle est uniformément continue. Il existe donc $\delta>0$ tel que :

Prenons une subdivision $P$ de pas $<\delta$. Pour chaque intervalle $[t_i,t_{i+1}]$, choisissons $\xi_i\in[t_i,t_{i+1}]$. Alors :

En prenant les normes et en minorant :

Or, sur $[t_i,t_{i+1}]$, on a $\|\gamma'(t)-\gamma'(\xi_i)\|<\varepsilon$, donc :

En sommant :

Quand le pas de $P$ tend vers $0$, la somme de Riemann converge vers $\int_a^b\|\gamma'(t)\|\,dt$. On obtient donc, pour $P$ suffisamment fin :

En prenant le supremum sur $P$ puis $\varepsilon\to 0$, on conclut :

Avec l’inégalité précédente, cela donne l’égalité :

$\blacksquare$

Démonstration de l’invariance par reparamétrage monotone

Preuve :

Soit $\varphi:[\alpha,\beta]\to[a,b]$ $\mathcal{C}^1$ strictement monotone. Supposons d’abord $\varphi$ croissante. Alors, par la règle de dérivation en chaîne :

Donc :

Par la formule intégrale de la longueur appliquée à $\gamma\circ\varphi$ :

Par changement de variable $t=\varphi(u)$, $dt=\varphi'(u)\,du$ :

Si $\varphi$ est décroissante, on obtient $|\varphi’|=-\varphi’$ et le changement de variable inverse les bornes, ce qui redonne la même valeur. $\blacksquare$

Exemples et contre-exemples

Exemple 1 : Segment et droite paramétrée

Soit $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^n$, $\gamma(t)=A+t(B-A)$. Alors :

Donc :

Exemple 2 : Cercle de rayon $R$

Soit $\gamma:[0,2\pi]\to\mathbb{R}^2$, $\gamma(t)=(R\cos t,R\sin t)$. Alors :

Par conséquent :

Exemple 3 : Courbe avec vitesse variable

Soit $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$, $\gamma(t)=(t^2,t^3)$. Alors :

La longueur vaut :

En posant $u=4+9t^2$, $du=18t\,dt$, on obtient :

Contre-exemple : fonction continue non rectifiable (idée)

Il existe des courbes continues $\gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^2$ telles que :

Ces courbes ne sont pas rectifiables. Elles échappent à la formule $\int_a^b\|\gamma'(t)\|dt$ car $\gamma’$ n’existe pas au sens classique.

Propriété pratique : abscisse curviligne

Si $\gamma$ est régulière sur $[a,b]$, on définit l’abscisse curviligne :

Alors $s'(t)=\|\gamma'(t)\|>0$, donc $s$ est strictement croissante. On peut reparamétrer par $s$ et obtenir une vitesse unitaire :

Résumé mathématique (sans ambiguïté)

• Longueur polygonale : $L(\gamma,P)=\sum_i\|\gamma(t_{i+1})-\gamma(t_i)\|$.
• Longueur de l’arc : $L(\gamma)=\sup_P L(\gamma,P)$.
• Si $\gamma\in\mathcal{C}^1$ : $L(\gamma)=\int_a^b\|\gamma'(t)\|\,dt$.
• Invariance : $L(\gamma\circ\varphi)=L(\gamma)$ si $\varphi$ est monotone $\mathcal{C}^1$.