Opérateur Divergence d’un Champ de Vecteurs
La divergence est un opérateur différentiel qui agit sur un champ de vecteurs et produit un champ scalaire (un nombre en chaque point). Ce nombre mesure le caractère de « source » ou de « puits » du champ de vecteurs en ce point. Intuitivement, la divergence quantifie le flux sortant d’un volume infinitésimal autour du point.
1. Définition Formelle
La divergence est la somme des dérivées partielles des composantes du champ de vecteurs par rapport à leur variable correspondante. On peut la voir comme le « produit scalaire » formel de l’opérateur nabla $\nabla$ avec le champ de vecteurs $F$.
Soit $F = (F_1, \dots, F_p)$ un champ de vecteurs de classe C¹ sur un ouvert $U \subset \mathbb{R}^p$.
La divergence de $F$, notée $\text{div } F$ ou $\nabla \cdot F$, est la fonction scalaire définie sur $U$ par :
$$ \text{div } F = \frac{\partial F_1}{\partial x_1} + \frac{\partial F_2}{\partial x_2} + \dots + \frac{\partial F_p}{\partial x_p} = \sum_{i=1}^p \frac{\partial F_i}{\partial x_i} $$
Notez que la divergence est la trace de la matrice jacobienne du champ de vecteurs.
2. Interprétation Physique
L’interprétation de la divergence est au cœur de nombreuses lois physiques, notamment en mécanique des fluides et en électromagnétisme. Imaginons que $F$ représente le champ de vitesse d’un fluide.
[Image d’un champ de vecteurs avec une source]- Si $\text{div } F(a) > 0$, le point $a$ est une source. Le flux de matière qui sort d’un petit volume autour de $a$ est plus grand que le flux qui y entre. Le fluide semble « jaillir » de ce point. C’est ce qui se passe dans un gaz en expansion.
- Si $\text{div } F(a) < 0$, le point $a$ est un puits. Le flux net est entrant. Le fluide semble « disparaître » en ce point. C’est le cas d’un gaz en compression ou d’un liquide s’écoulant dans un siphon.
- Si $\text{div } F(a) = 0$, le flux entrant est exactement égal au flux sortant. On dit que le champ est à divergence nulle ou solénoïdal. Cela caractérise un écoulement incompressible.
Une des quatre équations de Maxwell, $\nabla \cdot \vec{B} = 0$, stipule que le champ magnétique est à divergence nulle, ce qui exprime physiquement l’inexistence des monopôles magnétiques.
3. Exemples de Calcul
Exemple 1 : Champ Radial
Soit le champ $F(x,y) = (x,y)$ sur $\mathbb{R}^2$. Ce champ semble émaner de l’origine.
On a $F_1(x,y) = x$ et $F_2(x,y) = y$.
$$ \frac{\partial F_1}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial F_2}{\partial y} = 1 $$
$$ \text{div } F = 1 + 1 = 2 $$
La divergence est constante et strictement positive, ce qui confirme que chaque point de l’espace se comporte comme une source.
Exemple 2 : Champ Rotationnel
Soit le champ $F(x,y) = (-y, x)$ sur $\mathbb{R}^2$. Ce champ « tourne » autour de l’origine.
On a $F_1(x,y) = -y$ et $F_2(x,y) = x$.
$$ \frac{\partial F_1}{\partial x} = 0, \quad \frac{\partial F_2}{\partial y} = 0 $$
$$ \text{div } F = 0 + 0 = 0 $$
La divergence est nulle partout. Un écoulement purement rotationnel est incompressible.
Exemple 3 : Champ en 3D
Soit le champ $F(x,y,z) = (x^2y, \quad yz^2, \quad -2xyz)$. $$ \frac{\partial F_1}{\partial x} = 2xy $$ $$ \frac{\partial F_2}{\partial y} = z^2 $$ $$ \frac{\partial F_3}{\partial z} = -2xy $$ $$ \text{div } F = 2xy + z^2 – 2xy = z^2 $$ La divergence de ce champ n’est pas constante. Elle est nulle sur le plan $z=0$ et positive partout ailleurs.