Définition de l’Opérateur Laplacien
L’opérateur Laplacien est un opérateur différentiel du second ordre qui agit sur les champs scalaires. On l’obtient en composant les deux opérateurs du premier ordre que nous avons étudiés : le gradient et la divergence. Le Laplacien mesure une sorte de « courbure moyenne » d’un champ en un point et est au cœur d’un très grand nombre d’équations fondamentales de la physique.
1. Définition Formelle
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ un champ scalaire de classe C² sur un ouvert $U$.
Le Laplacien de $f$ est le champ scalaire, noté $\Delta f$ ou $\nabla^2 f$, défini par la divergence du gradient de $f$.
$$ \Delta f = \text{div}(\nabla f) = \nabla \cdot (\nabla f) $$
En coordonnées cartésiennes, cette composition se traduit par la somme des dérivées partielles secondes « pures » : $$ \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} + \dots + \frac{\partial^2 f}{\partial x_p^2} $$
2. Interprétation du Laplacien
Le Laplacien en un point $a$ compare la valeur de la fonction $f(a)$ à la valeur moyenne de $f$ sur un petit voisinage (une petite sphère ou boule) autour de $a$.
[Image d’une surface avec une courbure positive]- Si $\Delta f(a) > 0$, la fonction a une courbure « vers le haut » en moyenne. La valeur $f(a)$ est inférieure à la moyenne de ses valeurs voisines. C’est un « creux » local.
- Si $\Delta f(a) < 0$, la fonction a une courbure « vers le bas » en moyenne. La valeur $f(a)$ est supérieure à la moyenne de ses valeurs voisines. C’est une « bosse » locale.
- Si $\Delta f(a) = 0$, la fonction est dite harmonique. La valeur $f(a)$ est exactement la moyenne de ses valeurs voisines. Les fonctions harmoniques sont « lisses » et ne présentent ni maximum ni minimum locaux stricts à l’intérieur de leur domaine.
3. Importance en Physique
L’opérateur Laplacien est l’un des objets les plus importants de la physique mathématique car il décrit les phénomènes de diffusion et de propagation en l’absence de sources.
- Équation de Laplace : $\Delta f = 0$
Décrit les états d’équilibre ou les régimes permanents, où il n’y a plus d’évolution temporelle. Exemples : le potentiel électrostatique dans le vide, la distribution de température à l’équilibre thermique, l’écoulement d’un fluide parfait irrotationnel. - Équation de Poisson : $\Delta f = \rho$
Décrit les mêmes phénomènes, mais en présence d’un terme source $\rho$. Exemple : le potentiel électrostatique en présence de charges électriques. - Équation de la chaleur : $\frac{\partial f}{\partial t} = \alpha \Delta f$
Décrit comment une grandeur (comme la température) diffuse dans un milieu au cours du temps. - Équation des ondes : $\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} = c^2 \Delta f$
Décrit la propagation d’une onde (sonore, lumineuse, etc.) dans l’espace.
Exemple de Calcul
Soit le champ scalaire $f(x,y,z) = x^2y – yz^3 + xy^2z$.
- Calculer le gradient : $$ \nabla f = \left( 2xy + y^2z, \quad x^2 – z^3 + 2xyz, \quad -3yz^2 + xy^2 \right) $$
- Calculer la divergence du gradient : $$ \Delta f = \frac{\partial}{\partial x}(2xy + y^2z) + \frac{\partial}{\partial y}(x^2 – z^3 + 2xyz) + \frac{\partial}{\partial z}(-3yz^2 + xy^2) $$ $$ \Delta f = (2y) + (2xz) + (-6yz) $$ $$ \Delta f = 2y + 2xz – 6yz $$