Méthode pour trouver le polynôme minimal d’une matrice
Le polynôme minimal d’une matrice $A$ est un concept plus fin que celui de polynôme caractéristique. C’est le polynôme « le plus simple » qui annule la matrice. Il contient des informations cruciales, notamment pour déterminer si une matrice est diagonalisable.
Le polynôme minimal d’une matrice carrée $A$, noté $\mu_A(X)$, est l’unique polynôme unitaire (son coefficient de plus haut degré est 1) de plus bas degré qui annule $A$. Cela signifie que $\mu_A(A) = 0$.
Théorème de Cayley-Hamilton : Un polynôme qui annule $A$ existe toujours, c’est le polynôme caractéristique $\chi_A(X)$.
Cela nous donne une information capitale : le polynôme minimal divise toujours le polynôme caractéristique.
- Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ et le factoriser en produit de facteurs irréductibles. Par exemple, $\chi_A(X) = (X-\lambda_1)^{m_1} \dots (X-\lambda_k)^{m_k}$.
- Utiliser les racines : Le polynôme minimal $\mu_A(X)$ a exactement les mêmes racines que $\chi_A(X)$. Il est donc de la forme $\mu_A(X) = (X-\lambda_1)^{p_1} \dots (X-\lambda_k)^{p_k}$.
- Déterminer les exposants : Pour chaque racine $\lambda_i$, on sait que $1 \le p_i \le m_i$.
- Tester les candidats : On teste les polynômes candidats, en partant de celui avec les plus petits exposants ($p_i=1$ pour tous les $i$). Le premier que l’on trouve qui annule $A$ est le polynôme minimal.
Exemple 1 : Cas diagonalisable
Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.
1. Polynôme caractéristique : On trouve $\chi_A(X) = (X-1)^2(X-4)$. Les valeurs propres sont 1 (multiplicité 2) et 4 (multiplicité 1).
2. Candidats pour le polynôme minimal : Les racines doivent être 1 et 4. Les exposants de $(X-1)$ peuvent être 1 ou 2. Celui de $(X-4)$ doit être 1.
Candidat 1 : $\mu_1(X) = (X-1)(X-4) = X^2 – 5X + 4$.
Candidat 2 : $\mu_2(X) = (X-1)^2(X-4) = \chi_A(X)$.
3. Test du candidat de plus bas degré : Calculons $\mu_1(A) = A^2 – 5A + 4I$.
$A^2 = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 5 \\ 5 & 5 & 6 \end{pmatrix}$.
$A^2 – 5A + 4I = \begin{pmatrix} 6 & 5 & 5 \\ 5 & 6 & 5 \\ 5 & 5 & 6 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 10 & 5 & 5 \\ 5 & 10 & 5 \\ 5 & 5 & 10 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Puisque $\mu_1(A)=0$, le polynôme minimal est $\mu_A(X) = (X-1)(X-4)$.
Exemple 2 : Cas non diagonalisable
Soit $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.
1. Polynôme caractéristique : $\chi_B(X) = (X-2)^2(X-3)$. Les valeurs propres sont 2 (multiplicité 2) et 3 (multiplicité 1).
2. Candidats pour le polynôme minimal :
Candidat 1 : $\mu_1(X) = (X-2)(X-3)$.
Candidat 2 : $\mu_2(X) = (X-2)^2(X-3)$.
3. Test du candidat 1 : Calculons $\mu_1(B) = (B-2I)(B-3I)$.
$B-2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
$B-3I = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
$(B-2I)(B-3I) = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$.
Le premier candidat n’annule pas $B$. Comme il n’y a qu’une seule autre possibilité, le polynôme minimal est nécessairement le polynôme caractéristique : $\mu_B(X) = (X-2)^2(X-3)$.
Exemple 3 : Matrice nilpotente
Soit $C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
1. Polynôme caractéristique : $C$ est triangulaire, donc $\chi_C(X) = (X-0)^3 = X^3$. La seule valeur propre est 0.
2. Candidats pour le polynôme minimal : Le minimal doit diviser $X^3$. Les candidats sont $X$, $X^2$ et $X^3$.
3. Tests successifs :
Test $X$ : $C \neq 0$.
Test $X^2$ : $C^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0$.
Test $X^3$ : $C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
Le plus petit polynôme unitaire qui annule $C$ est $X^3$. Donc $\mu_C(X) = X^3$.
Le polynôme minimal donne le critère le plus puissant pour savoir si une matrice est diagonalisable :
Une matrice est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé (ses racines sont dans le corps de base) et n’a que des racines simples.
- Exemple 1 : $\mu_A(X) = (X-1)(X-4)$, racines simples (1 et 4). $A$ est diagonalisable.
- Exemple 2 : $\mu_B(X) = (X-2)^2(X-3)$, la racine 2 est double. $B$ n’est pas diagonalisable.