Définition formelle et espace sous-jacent

Le modèle de Klein est une réalisation de la géométrie hyperbolique $\mathbb{H}^2$ dans le disque unité $\mathbb{D} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1 \}$. La structure est définie par l’ensemble des géodésiques, qui sont les intersections des droites euclidiennes avec $\mathbb{D}$. Formellement, la métrique n’est pas directement donnée par la structure riemannienne mais par une métrique de Finsler projectivement invariante.

Théorème de représentation projective

Le modèle de Klein est équivalent au modèle de Poincaré via une application conforme précise.

Proposition 1 : Application de transition

L’application $\phi : \mathbb{D} \to \mathbb{H}$, définie par $\phi(z) = -i \frac{1+z}{1-z}$, est une bijection holomorphe entre le disque de Klein et le demi-plan de Poincaré $\mathbb{H} = \{ w \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Im}(w) > 0 \}$. Elle préserve les géodésiques car elle envoie les droites euclidiennes de $\mathbb{D}$ sur les cercles orthogonaux à $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{H}$.

Preuve : Calculons $\phi'(z) = -i \frac{2}{(1-z)^2}$. Son module vaut $|\phi'(z)| = \frac{2}{|1-z|^2}$. Puisque $\phi$ est holomorphe et bijective, c’est une application conforme. De plus, $\phi$ envoie le cercle $\partial\mathbb{D}$ sur la droite réelle $\mathbb{R} \cup \{ \infty \}$, car pour $|z|=1$, $\phi(z) \in \mathbb{R} \cup \{ \infty \}$. Par continuité et inversibilité, $\phi$ transforme les cordes droites de $\mathbb{D}$ en les géodésiques de $\mathbb{H}$ (cercles orthogonaux à $\mathbb{R}$). $\blacksquare$

Formule de distance hyperbolique dans le modèle de Klein

La distance hyperbolique $d_K$ dans le modèle de Klein est exprimée en fonction des coordonnées euclidiennes des extrémités d’une corde. Soient $z_1, z_2 \in \mathbb{D}$ distincts, et supposons qu’ils soient sur une même droite euclidienne (sinon la distance est définie comme l’infimum des longueurs des chemins le long de géodésiques).

Théorème 2 : Expression intégrale

Le long d’une géodésique (corde euclidienne) paramétrée par $t \mapsto (1-t)z_1 + t z_2$, $t \in [0,1]$, la métrique de Klein est donnée par $$ds_K = \frac{\sqrt{dz d\bar{z}}}{1-|z|^2}.$$ Par conséquent, la distance s’écrit $$d_K(z_1, z_2) = \int_0^1 \frac{|z_2 – z_1| \, dt}{1 – |(1-t)z_1 + t z_2|^2}.$$ Cette intégrale peut être évaluée explicitement.

Expression close et démonstration

On peut calculer l’intégrale précédente en utilisant un changement de variable projectif. Le résultat est : $$d_K(z_1, z_2) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{1 + \frac{|z_1 – z_2|}{\sqrt{(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)}}}{1 – \frac{|z_1 – z_2|}{\sqrt{(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)}}} \right).$$

Preuve détaillée

Preuve : Posons $a = \frac{|z_1 – z_2|}{\sqrt{(1-|z_1|^2)(1-|z_2|^2)}}$. L’expression entre parenthèses est $\frac{1+a}{1-a}$. On reconnaît la forme $\tanh^{-1}(a) = \frac{1}{2}\ln\frac{1+a}{1-a}$. Ainsi $d_K(z_1,z_2) = \operatorname{artanh}(a)$.

Pour obtaining $a$, remarquons que dans l’intégrale, la fonction sous l’intégrale est de la forme $\frac{C}{1 – |z(t)|^2}$ avec $z(t)$ linéaire. En posant $u = \operatorname{arctanh}(|z(t)|)$, on peut intégrer. Une autre méthode utilise l’invariance par le groupe $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{C})$ : en appliquant une transformation de Möbius qui envoie $z_1$ sur $0$ et $z_2$ sur $r \in (0,1)$ réel, la distance devient $d_K(0,r) = \int_0^r \frac{dt}{1-t^2} = \operatorname{artanh}(r)$. Le calcul de $r$ donne exactement l’expression de $a$. $\blacksquare$

Exemples numériques et contre-exemples

Exemple 1 : Distance entre 0 et 1/2

Pour $z_1 = 0$, $z_2 = 1/2$, on a $|z_1 – z_2| = 1/2$, $\sqrt{(1-0)(1-1/4)} = \sqrt{3}/2$. Donc $a = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = 1/\sqrt{3}$. Ainsi $d_K(0,1/2) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+1/\sqrt{3}}{1-1/\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right) = \frac{1}{2} \ln(2+\sqrt{3}) \approx 0,6585$.

Exemple 2 : Cas limite au bord

Si $z_2 \to \zeta$ avec $|\zeta| = 1$, alors $1-|z_2|^2 \to 0$, donc $a \to +\infty$ et $d_K(z_1,\zeta) \to +\infty$. Cela signifie que le bord du disque est à l’infini hyperbolique, conformément à la géométrie hyperbolique.

Contre-exemple : Non-préservation des angles euclidiens

Un contre-exemple important est que le modèle de Klein n’est pas conforme. Ainsi, l’angle hyperbolique entre deux géodésiques croisantes n’est généralement pas égal à l’angle euclidien entre leurs cordes. Par exemple, prenons deux diamètres orthogonaux dans le disque. Leur angle euclidien est $\pi/2$, mais l’angle hyperbolique en leur point d’intersectiondiffère de $\pi/2$ sauf en certains points spécifiques.

Groupe des isométries et relation avec PGL(2,ℝ)

Le groupe des isométries du modèle de Klein est exactement l’action de $\mathrm{PGL}(2,\mathbb{R})$ (ou $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$) sur le disque $\mathbb{D}$ par transformations de Möbius. Cela provient de l’invariance projective de la métrique.

Théorème 3 : Caractérisation des isométries

Toute isométrie de $(\mathbb{D}, d_K)$ est de la forme $$z \mapsto \frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}},$$ avec $a,b \in \mathbb{C}$ et $|a|^2 – |b|^2 = 1$. Ces transformations préservent le disque et la métrique $d_K$.

Pour approfondir

Ce cours constitue une introduction rigoureuse. Pour des exercices corrigés et des extensions (modèle de Poincaré, densité isométrique, géodésiques en coordonnées de Beltrami), consultez les ressources de KeepMath. Le site Culture Math propose également des dossiers sur les géométries non-euclidiennes.