Introduction : Relier les Anneaux Entre Eux
Tout comme les homomorphismes de groupes permettent de comparer et de relier différentes structures de groupes, les morphismes d’anneaux (ou homomorphismes d’anneaux) sont les applications qui préservent la double structure d’un anneau. Une telle application doit respecter à la fois l’addition et la multiplication.
À chaque morphisme sont associés deux objets fondamentaux : son noyau et son image. Le noyau capture l’information « perdue » ou « écrasée » par le morphisme, tandis que l’image décrit la partie de l’anneau d’arrivée qui est « atteinte ». Comme nous le verrons, le noyau d’un morphisme d’anneaux n’est pas un sous-anneau quelconque, mais toujours un idéal, établissant un lien profond entre ces deux notions.
Soient $(A, +_A, \times_A)$ et $(B, +_B, \times_B)$ deux anneaux. Une application $f: A \to B$ est un morphisme d’anneaux si elle vérifie les trois conditions suivantes :
- Compatibilité avec l’addition : Pour tous $x, y \in A$, $f(x +_A y) = f(x) +_B f(y)$.
- Compatibilité avec la multiplication : Pour tous $x, y \in A$, $f(x \times_A y) = f(x) \times_B f(y)$.
- Préservation de l’élément unité : $f(1_A) = 1_B$.
1. Noyau d’un Morphisme
Le noyau est l’ensemble des éléments de l’anneau de départ qui sont envoyés sur l’élément nul de l’anneau d’arrivée.
Le noyau du morphisme d’anneaux $f: A \to B$, noté $\ker(f)$, est le sous-ensemble de $A$ défini par : $$ \ker(f) = \{ x \in A \mid f(x) = 0_B \} $$
Le noyau d’un morphisme d’anneaux $f: A \to B$ est toujours un idéal (bilatère) de l’anneau de départ $A$.
Un morphisme d’anneaux $f$ est injectif si et seulement si son noyau est réduit à l’idéal nul : $\ker(f) = \{0_A\}$.
2. Image d’un Morphisme
L’image est l’ensemble des éléments de l’anneau d’arrivée qui sont l’image d’au moins un élément de l’anneau de départ.
L’image du morphisme d’anneaux $f: A \to B$, notée $\text{Im}(f)$, est le sous-ensemble de $B$ défini par : $$ \text{Im}(f) = \{ f(x) \mid x \in A \} $$
L’image d’un morphisme d’anneaux $f: A \to B$ est un sous-anneau de l’anneau d’arrivée $B$.
Attention : L’image n’est pas, en général, un idéal de $B$. Un morphisme $f$ est surjectif si et seulement si son image est l’anneau d’arrivée tout entier : $\text{Im}(f) = B$.
Exemples Concrets
-
Projection canonique : L’application $\pi : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ définie par $\pi(k) = [k]$ est un morphisme d’anneaux surjectif.
- Son noyau est l’ensemble des entiers $k$ tels que $[k]=[0]$, c’est-à-dire l’ensemble des multiples de $n$. Donc, $\ker(\pi) = n\mathbb{Z}$, qui est bien un idéal de $\mathbb{Z}$.
- Son image est $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tout entier.
-
Morphisme d’évaluation : Soit $A=K[X]$ l’anneau des polynômes à coefficients dans un corps $K$. Fixons un élément $a \in K$. L’application $\text{ev}_a : K[X] \to K$ définie par $\text{ev}_a(P) = P(a)$ (l’évaluation du polynôme en $a$) est un morphisme d’anneaux surjectif.
- Son noyau est l’ensemble des polynômes $P$ tels que $P(a)=0$. C’est l’ensemble des polynômes qui ont $a$ pour racine. C’est l’idéal principal engendré par $(X-a)$.
- Son image est $K$ tout entier.
-
Inclusion : L’application d’inclusion $i : \mathbb{Z} \to \mathbb{Q}$ est un morphisme d’anneaux.
- Son noyau est $\ker(i) = \{0\}$. Le morphisme est bien injectif.
- Son image est $\text{Im}(i) = \mathbb{Z}$. On voit ici que $\mathbb{Z}$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$, mais n’est pas un idéal de $\mathbb{Q}$ (par exemple, $2 \in \mathbb{Z}$ mais $\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} \notin \mathbb{Z}$, la propriété d’absorption n’est pas vérifiée).
Théorème d’Isomorphisme
Tout comme pour les groupes, les notions de noyau et d’image sont liées par un théorème d’isomorphisme fondamental qui stipule que l’on peut « passer au quotient » par le noyau pour obtenir l’image.
Premier théorème d’isomorphisme pour les anneaux : Soit $f: A \to B$ un morphisme d’anneaux. Alors, l’anneau quotient $A/\ker(f)$ est isomorphe à l’image de $f$, qui est un sous-anneau de $B$. $$ A/\ker(f) \cong \text{Im}(f) $$