Nature des Points Critiques
Après avoir identifié les points critiques d’une fonction (les points où son gradient s’annule), il faut déterminer la nature de chacun d’eux. S’agit-il d’un minimum local, d’un maximum local ou d’un point selle ? Pour cela, on utilise le test de la dérivée seconde, qui repose sur l’analyse de la matrice Hessienne en ces points.
1. Le Test de la Dérivée Seconde
L’idée est d’analyser la courbure de la fonction au point critique. Cette information est contenue dans la matrice Hessienne.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction de classe C² et soit $a \in U$ un point critique de $f$ (c’est-à-dire $\nabla f(a) = \vec{0}$). On calcule la matrice Hessienne $H_f(a)$ en ce point.
- Si toutes les valeurs propres de $H_f(a)$ sont strictement positives, alors $f$ admet un minimum local strict en $a$.
- Si toutes les valeurs propres de $H_f(a)$ sont strictement négatives, alors $f$ admet un maximum local strict en $a$.
- Si $H_f(a)$ possède au moins une valeur propre strictement positive et au moins une valeur propre strictement négative, alors $a$ est un point selle.
- Si l’une des valeurs propres de $H_f(a)$ est nulle (et les autres de même signe), le test est inconclusif. Il faut une analyse d’ordre supérieur.
2. Cas Pratique d’une Fonction de Deux Variables ($f(x,y)$)
Pour une fonction de deux variables, le calcul des valeurs propres peut être remplacé par l’étude du déterminant et de la trace de la matrice Hessienne, ce qui est souvent plus rapide.
Soit $H_f(a) = \begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix}$ la Hessienne en un point critique $a$. Notons $D = \det(H_f(a)) = AC – B^2$ et $T = \text{Tr}(H_f(a)) = A+C$.
- Si $D > 0$ et $A > 0$ (ou $C>0$), alors $f$ a un minimum local en $a$.
- Si $D > 0$ et $A < 0$ (ou $C<0$), alors $f$ a un maximum local en $a$.
- Si $D < 0$, alors $a$ est un point selle.
- Si $D = 0$, le test est inconclusif.
Application à l’Exemple Précédent
Reprenons la fonction $f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy$. Ses points critiques sont $(0,0)$ et $(1,1)$.
- Calcul de la matrice Hessienne : $$ \nabla f(x,y) = (3x^2 – 3y, 3y^2 – 3x) $$ $$ H_f(x,y) = \begin{pmatrix} 6x & -3 \\ -3 & 6y \end{pmatrix} $$
- Étude du point (0,0) :
$$ H_f(0,0) = \begin{pmatrix} 0 & -3 \\ -3 & 0 \end{pmatrix} $$
Le déterminant est $D = (0)(0) – (-3)(-3) = -9$.
Puisque $D < 0$, le point (0,0) est un point selle. - Étude du point (1,1) :
$$ H_f(1,1) = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ -3 & 6 \end{pmatrix} $$
Le déterminant est $D = (6)(6) – (-3)(-3) = 36 – 9 = 27$.
Puisque $D > 0$, c’est un extremum local. Pour savoir si c’est un minimum ou un maximum, on regarde le signe du premier terme $A = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(1,1) = 6$.
Puisque $A > 0$, le point (1,1) est un minimum local.