La norme hermitienne est une généralisation fondamentale de la norme euclidienne aux espaces vectoriels complexes. Elle découle directement de la structure d’un produit scalaire hermitien.
Définition formelle
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$. Une norme hermitienne est une norme $\| \cdot \|$ sur $E$ pour laquelle il existe un produit scalaire hermitien $\langle \cdot , \cdot \rangle$tel que :
$$\forall x \in E, \quad \|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$
Le produit scalaire hermitien $\langle \cdot , \cdot \rangle$ est une application bilinéaire (linéaire à gauche, conjuguée linéaire à droite) vérifiant :
- Symétrie hermitienne : $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ pour tout $x,y \in E$.
- Positivité : $\langle x, x \rangle \geq 0$ avec égalité si et seulement si $x=0$.
- Linéarité à gauche : $\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$ pour $\alpha,\beta \in \mathbb{C}$.
Caractérisation par l’identité du parallélogramme
Théorème. Une norme $\|\cdot\|$ sur un espace vectoriel complexe $E$ est une norme hermitienne si et seulement si elle satisfait l’identité du parallélogramme :
$$\forall x, y \in E, \quad \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$$
Théorèmes & Propriétés centrales
Inégalité de Cauchy-Schwarz hermitienne
Théorème. Pour tout produit scalaire hermitien $\langle \cdot, \cdot \rangle$ sur $E$, on a :
$$|\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|, \quad \forall x,y \in E.$$
De plus, l’égalité a lieu si et seulement si $x$ et $y$ sont linéairement dépendants.
Inégalité triangulaire
Théorème. La norme hermitienne vérifie l’inégalité triangulaire :
$$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|, \quad \forall x,y \in E.$$
Continuité
Théorème. Toute norme hermitienne est continue pour la topologie induite par cette norme.
Preuves rigoureuses
Preuve de l’identité du parallélogramme
Preuve : Par définition, $\|x\|^2 = \langle x, x \rangle$. Calculons :
$$\begin{aligned} \|x+y\|^2 &= \langle x+y, x+y \rangle = \|x\|^2 + \|y\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle \\ \|x-y\|^2 &= \langle x-y, x-y \rangle = \|x\|^2 + \|y\|^2 – \langle x, y \rangle – \langle y, x \rangle. \end{aligned}$$
En additionnant, les termes croisés $\langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle$ se neutralisent. On obtient : $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2$. $\blacksquare$
Preuve de Cauchy-Schwarz
Preuve : Soient $x,y \in E$ avec $y \neq 0$. Considérons le polynôme en $\lambda \in \mathbb{R}$ :
$$p(\lambda) = \|x – \lambda y\|^2 = \langle x-\lambda y, x-\lambda y \rangle.$$
On développe :
$$p(\lambda) = \|x\|^2 – 2\operatorname{Re}(\lambda \langle y, x \rangle) + |\lambda|^2 \|y\|^2.$$
Comme $p(\lambda) \geq 0$ pour tout $\lambda$, son discriminant (considéré comme polynôme en $\lambda$ et $\overline{\lambda}$) est négatif. Un choix astucieux de $\lambda$ (par exemple $\lambda = t \langle y, x \rangle / \|y\|^2$ avec $t \in \mathbb{R}$) conduit à :
$$0 \leq \|x\|^2 \|y\|^2 – |\langle x, y \rangle|^2.$$
Ainsi $|\langle x, y \rangle|^2 \leq \|x\|^2 \|y\|^2$, d’où le résultat. $\blacksquare$
Exemples & Contre-exemples
Exemples classiques
- Espace $\mathbb{C}^n$. Le produit scalaire hermitien usuel : $\langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}$. La norme hermitienne associée est $\|x\|_2 = \sqrt{\sum |x_k|^2}$.
- Espace $L^2(\Omega)$. Pour $\Omega$ mesurable, $\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)\overline{g(x)} \, d\mu(x)$ définit une norme hermitienne : $\|f\|_2 = \left( \int |f|^2 \right)^{1/2}$.
- Espaces de matrices. Sur $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{C})$, le produit scalaire hermitien $\langle A, B \rangle = \operatorname{Tr}(A^ B)$ donne la norme de Frobenius $\|A\|_F = \sqrt{\operatorname{Tr}(A^ A)}$.
Contre-exemples
- Norme $\ell^1$ sur $\mathbb{C}^n$. $\|x\|_1 = \sum_{k=1}^n |x_k|$ n’est pas hermitienne. Elle ne vérifie pas l’identité du parallélogramme.
- Norme $\ell^\infty$ sur $\mathbb{C}^n$. $\|x\|_\infty = \max_k |x_k|$ n’est pas induite par un produit scalaire hermitien.
- Norme $\ell^p$ pour $p \neq 2$. Aucune norme $\ell^p$ avec $p \neq 2$ sur $\mathbb{C}^n$ n’est une norme hermitienne.
Applications et extensions
Les normes hermitiennes sont cruciales en :
- Analyse fonctionnelle (espaces de Hilbert).
- Mécanique quantique (produit scalaire sur les états).
- Théorie des opérateurs (normes d’opérateurs induites).
Pour approfondir les exercises sur les espaces vectoriels complexes et les produits scalaires, consultez les ressources de KeepMath. La revue CultureMath propose aussi des dossiers thématiques sur les structures hermitiennes avancées.