Normes et Distances sur $\mathbb{R}^n$
Pour généraliser les concepts d’analyse de $\mathbb{R}$ (comme la convergence des suites ou la continuité des fonctions) à des espaces de dimension supérieure comme $\mathbb{R}^n$, nous avons besoin d’outils pour mesurer la « longueur » des vecteurs et la « distance » entre eux. Ce sont les notions de norme et de distance.
Une norme est une généralisation de la valeur absolue, qui mesure la « taille » d’un vecteur. Une distance, quant à elle, mesure l’écart entre deux points (ou vecteurs) de l’espace. Comme nous le verrons, toute norme permet de définir naturellement une distance.
1. La Notion de Norme
Une norme sur l’espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ est une application notée $\| \cdot \| : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$ qui, pour tous vecteurs $x, y \in \mathbb{R}^n$ et tout scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$, vérifie les trois propriétés suivantes :
- Séparation (ou positivité) : $\|x\| = 0 \iff x = 0_{\mathbb{R}^n}$. (La norme est nulle si et seulement si le vecteur est le vecteur nul).
- Homogénéité : $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$. (Changer l’échelle d’un vecteur change sa norme proportionnellement).
- Inégalité triangulaire : $\|x + y\| \le \|x\| + \|y\|$. (La longueur du trajet direct est toujours inférieure ou égale à la longueur d’un trajet avec une étape).
Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé un espace vectoriel normé.
Exemples Fondamentaux de Normes sur $\mathbb{R}^n$
Pour un vecteur $x = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in \mathbb{R}^n$, voici les trois normes les plus courantes :
- Norme Euclidienne (ou norme 2) : C’est la généralisation directe de la notion de longueur issue du théorème de Pythagore. $$\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$$
- Norme 1 (ou norme de Manhattan) : Elle correspond à la distance parcourue dans une ville où l’on ne peut se déplacer que le long des rues (horizontalement ou verticalement). $$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i| = |x_1| + |x_2| + \dots + |x_n|$$
- Norme Infinie (ou norme de Chebyshev) : Elle correspond à la plus grande des composantes du vecteur en valeur absolue. $$\|x\|_\infty = \max_{1 \le i \le n} |x_i|$$
2. La Notion de Distance
Chaque norme permet de construire une notion de distance entre deux points.
Si $\| \cdot \|$ est une norme sur $\mathbb{R}^n$, l’application $d : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}_+$ définie par : $$d(x, y) = \|x – y\|$$ est une distance sur $\mathbb{R}^n$. Elle vérifie :
- Séparation : $d(x, y) = 0 \iff x = y$.
- Symétrie : $d(x, y) = d(y, x)$.
- Inégalité triangulaire : $d(x, z) \le d(x, y) + d(y, z)$ pour tout $z \in \mathbb{R}^n$.
Ainsi, les trois normes vues précédemment induisent trois distances :
- Distance euclidienne : $d_2(x, y) = \sqrt{\sum (x_i – y_i)^2}$.
- Distance de Manhattan : $d_1(x, y) = \sum |x_i – y_i|$.
- Distance de Chebyshev : $d_\infty(x, y) = \max |x_i – y_i|$.
3. Visualisation : Les Boules Unités
Une excellente façon de comprendre la « géométrie » d’une norme est de visualiser sa boule unité fermée, c’est-à-dire l’ensemble des points $x$ tels que $\|x\| \le 1$. Dans $\mathbb{R}^2$, ces boules ont des formes très différentes.
- Pour la norme euclidienne $\| \cdot \|_2$, la boule unité est le disque usuel. [Image of a circle]
- Pour la norme 1 $\| \cdot \|_1$, la boule unité est un carré tourné de 45°, dont les sommets sont (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1). [Image of a diamond shape]
- Pour la norme infinie $\| \cdot \|_\infty$, la boule unité est un carré aligné sur les axes, dont les sommets sont (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1). [Image of a square]
4. Équivalence des Normes en Dimension Finie
On pourrait craindre que le choix d’une norme plutôt qu’une autre change radicalement les propriétés de l’espace (par exemple, qu’une suite qui converge pour une norme ne converge pas pour une autre). Heureusement, en dimension finie, ce n’est pas le cas. C’est l’un des théorèmes les plus importants de la topologie des espaces vectoriels.
Sur un espace vectoriel de dimension finie (comme $\mathbb{R}^n$), toutes les normes sont équivalentes.
Cela signifie que pour deux normes quelconques $\| \cdot \|_a$ et $\| \cdot \|_b$ sur $\mathbb{R}^n$, il existe deux constantes strictement positives $\alpha$ et $\beta$ telles que pour tout vecteur $x \in \mathbb{R}^n$ : $$\alpha \|x\|_a \le \|x\|_b \le \beta \|x\|_a$$
La conséquence de ce théorème est fondamentale : les notions topologiques comme la convergence d’une suite, la continuité d’une fonction, ou la compacité d’un ensemble ne dépendent pas de la norme choisie sur $\mathbb{R}^n$. Si une suite converge vers une limite pour la norme euclidienne, elle convergera vers la même limite pour la norme 1 ou la norme infinie. Cela unifie l’analyse sur $\mathbb{R}^n$.