Notion de Continuité Locale
Jusqu’à présent, nous avons défini la continuité d’une fonction de manière « globale » : une fonction est continue si l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert. Il est souvent utile d’étudier la continuité en un point précis. C’est ce qu’on appelle la continuité locale.
Soient $(X, \mathcal{T}_X)$ et $(Y, \mathcal{T}_Y)$ deux espaces topologiques, et $f: X \to Y$ une application.
On dit que $f$ est continue en un point $x_0 \in X$ si pour tout voisinage $V$ de $f(x_0)$ dans $Y$, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ dans $X$ tel que $f(U) \subseteq V$.
$$\forall V \in \mathcal{V}(f(x_0)), \exists U \in \mathcal{V}(x_0) \text{ tel que } f(U) \subseteq V$$
Remarque
Intuitivement, cela signifie que si l’on choisit n’importe quelle « zone d’arrivée » $V$ autour de l’image $f(x_0)$, on peut toujours trouver une « zone de départ » $U$ autour de $x_0$ dont tous les points sont envoyés par $f$ à l’intérieur de $V$. Les points « proches » de $x_0$ ont des images « proches » de $f(x_0)$.
Une fonction $f: X \to Y$ est continue (au sens global) si et seulement si elle est continue en tout point $x \in X$.
Ce théorème est fondamental car il justifie que les deux définitions de la continuité (la définition globale avec les ouverts et la définition locale avec les voisinages) sont équivalentes. Il permet d’utiliser la définition la plus adaptée au problème que l’on cherche à résoudre.
Exemple de Discontinuité en un Point
Considérons la fonction « partie entière » $E: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qui à $x$ associe le plus grand entier inférieur ou égal à $x$.
- En $x_0 = 1.5$ : La fonction est continue. $E(1.5) = 1$. Si l’on prend un petit voisinage de $1$, par exemple $V = ]0.5, 1.5[$, on peut trouver un voisinage de $1.5$, par exemple $U = ]1, 2[$, tel que $E(U) = \{1\} \subseteq V$.
- En $x_0 = 2$ : La fonction n’est pas continue. $E(2) = 2$. Considérons le voisinage $V = ]1.5, 2.5[$ de $E(2)=2$. Quel que soit le voisinage $U$ de $2$ que l’on choisit, il contiendra toujours des nombres légèrement inférieurs à $2$ (par exemple $2-\epsilon$). L’image de ces points sera $E(2-\epsilon) = 1$, qui n’est pas dans $V$. Il est donc impossible de trouver un voisinage $U$ de $2$ tel que $f(U) \subseteq V$.