Notion de Difféomorphisme Local
Un difféomorphisme est la notion la plus forte d’équivalence entre deux ensembles en géométrie différentielle. C’est une transformation « lisse » (différentiable) et inversible, dont l’inverse est également lisse. Intuitivement, c’est une déformation continue qui ne crée ni trou, ni déchirure, ni pli. Le théorème d’inversion locale nous donne précisément la condition pour qu’une fonction soit un tel « bon » changement de coordonnées, au moins localement.
1. Définition d’un Difféomorphisme
Soient $U$ et $V$ deux ouverts de $\mathbb{R}^p$. Une application $f: U \to V$ est un Cᵏ-difféomorphisme si :
- $f$ est une bijection de $U$ sur $V$.
- $f$ est de classe Cᵏ sur $U$.
- L’application réciproque $f^{-1}: V \to U$ est de classe Cᵏ sur $V$.
Un difféomorphisme est donc un changement de variables régulier.
2. Difféomorphisme Local
Il est souvent difficile de prouver qu’une fonction est un difféomorphisme global (sur des grands ensembles). Il est beaucoup plus simple de prouver qu’elle l’est localement, c’est-à-dire au voisinage de chaque point.
Soit $f: U \to \mathbb{R}^p$ une fonction de classe Cᵏ sur un ouvert $U$.
On dit que $f$ est un Cᵏ-difféomorphisme local en un point $a \in U$ s’il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ (inclus dans $U$) tel que la restriction de $f$ à $V$ soit un Cᵏ-difféomorphisme sur son image $f(V)$.
3. Le Lien avec le Théorème d’Inversion Locale
Le théorème d’inversion locale fournit une condition suffisante simple et puissante pour qu’une fonction soit un C¹-difféomorphisme local.
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}^p$ une fonction de classe C¹.
Si le déterminant de sa matrice jacobienne est non nul en un point $a \in U$ ($\det(J_f(a)) \neq 0$), alors $f$ est un C¹-difféomorphisme local en $a$.
4. Difféomorphisme Local vs Global
Attention, une fonction peut être un difféomorphisme local en chaque point de son domaine de définition sans être un difféomorphisme global. Pour être un difféomorphisme global, la fonction doit en plus être injective sur tout son domaine.
Contre-Exemple Classique
Considérons la fonction $f: \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \to \mathbb{R}^2$ qui transforme les coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes : $f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta)$. (Ici, on a renommé les variables $x,y$ en $r,\theta$).
- Analyse locale : La jacobienne de cette transformation est $\det(J_f(r,\theta)) = r$. Pour tout point $(r,\theta)$ avec $r \neq 0$, le jacobien est non nul. Donc, $f$ est un difféomorphisme local partout sur son domaine de définition.
- Analyse globale : La fonction n’est pas injective globalement. Par exemple, les points $(r, \theta)$ et $(r, \theta+2\pi)$ sont des points distincts qui ont la même image. $$ f(1, 0) = (1,0) \quad \text{et} \quad f(1, 2\pi) = (1,0) $$ La fonction n’est donc pas un difféomorphisme global. Elle « enroule » le plan sur lui-même.