Notion de Magma et Monoïde
En s’appuyant sur la définition d’une loi de composition interne et de ses propriétés, on peut commencer à nommer les structures algébriques de base. Les magmas et les monoïdes sont les premières étapes dans la hiérarchie des structures algébriques.
On appelle magma (ou groupoïde) tout couple $(E, \star)$ formé d’un ensemble non vide $E$ et d’une loi de composition interne $\star$ sur $E$.
C’est la structure la plus simple qui soit. On demande simplement à ce que la loi soit bien définie et interne à l’ensemble. Aucune autre propriété (associativité, commutativité, etc.) n’est requise.
Un magma $(E, \star)$ est un monoïde si la loi de composition interne $\star$ est associative et si elle admet un élément neutre.
Un monoïde est donc un magma « enrichi » de deux propriétés fondamentales.
Hiérarchie des Structures
On a donc la relation suivante :
Monoïde $\implies$ Magma
Tout monoïde est un magma, mais la réciproque est fausse. Un magma n’est pas forcément un monoïde.
Exemples
- $(\mathbb{Z}, -)$ est un magma. La soustraction est bien une LCI sur $\mathbb{Z}$. Cependant, elle n’est ni associative, ni ne possède d’élément neutre. Ce n’est donc pas un monoïde.
- $(\mathbb{N}, +)$ est un monoïde. L’addition est bien une LCI, elle est associative, et elle admet l’élément neutre 0. C’est un monoïde commutatif.
- $(\mathbb{N}, \times)$ est un monoïde. La multiplication est une LCI associative, avec l’élément neutre 1. C’est aussi un monoïde commutatif.
- $(\mathcal{F}(E, E), \circ)$, l’ensemble des fonctions de $E$ dans $E$ muni de la composition, est un monoïde. La loi est associative et l’élément neutre est l’application identité. En général, ce monoïde n’est pas commutatif.