Notion de Prébase d’une Topologie
Pour définir une topologie, nous avons vu qu’il est souvent plus simple de définir une base d’ouverts. La notion de prébase (parfois appelée sous-base) va encore plus loin en simplifiant la construction. Une prébase est une collection d’ensembles dont les intersections finies formeront une base.
Soit $X$ un ensemble. Une famille $\mathcal{P}$ de parties de $X$ est appelée une prébase (ou sous-base) sur $X$.
Contrairement à une base, il n’y a aucune condition requise pour qu’une collection de parties soit une prébase. N’importe quelle collection d’ensembles peut en être une.
Toute prébase $\mathcal{P}$ sur $X$ engendre une unique topologie $\mathcal{T}$ sur $X$. Cette topologie est construite en deux étapes :
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Étape 1 : Construire une base $\mathcal{B}$
On forme la collection $\mathcal{B}$ de toutes les intersections finies d’éléments de la prébase $\mathcal{P}$. Par convention, l’intersection sur une famille vide d’ensembles est l’ensemble $X$ tout entier. Cette collection $\mathcal{B}$ forme alors une base de topologie. -
Étape 2 : Construire la topologie $\mathcal{T}$
La topologie $\mathcal{T}$ est ensuite engendrée par la base $\mathcal{B}$. Ses ouverts sont toutes les unions (quelconques) d’éléments de $\mathcal{B}$.
La topologie $\mathcal{T}$ ainsi construite est la plus petite topologie (la moins fine) sur $X$ contenant tous les ensembles de la prébase $\mathcal{P}$.
Exemple : Prébase de la Topologie Usuelle sur $\mathbb{R}$
La topologie usuelle sur $\mathbb{R}$ peut être engendrée par une prébase très simple, composée uniquement des demi-droites ouvertes : $$ \mathcal{P} = \{ ]-\infty, a[ \mid a \in \mathbb{R} \} \cup \{ ]b, +\infty[ \mid b \in \mathbb{R} \} $$
En prenant les intersections finies d’éléments de $\mathcal{P}$, on obtient :
- L’intersection d’un $]-\infty, a[$ et d’un $]b, +\infty[$ donne un intervalle ouvert $]b, a[$ (si $b
- L’intersection de deux ensembles du même type, par exemple $]-\infty, a_1[ \cap ]-\infty, a_2[$, donne $]-\infty, \min(a_1, a_2)[$, qui est toujours un élément de $\mathcal{P}$.
- L’ensemble $\mathbb{R}$ lui-même (intersection vide).
La base $\mathcal{B}$ engendrée par $\mathcal{P}$ est donc la collection de tous les intervalles ouverts $]b, a[$, ce qui est précisément la base de la topologie usuelle.