Notion d’Ensemble Dense
Intuitivement, dire qu’une partie $A$ est dense dans un espace $X$ signifie que les points de $A$ sont « répartis partout » dans $X$. On peut approcher n’importe quel point de $X$ d’aussi près que l’on veut par un point de $A$. C’est une notion centrale en analyse et en topologie.
Soit $(X, \mathcal{T})$ un espace topologique et $A$ une partie de $X$.
On dit que $A$ est dense dans $X$ (ou partout dense) si son adhérence est égale à l’espace tout entier. $$ \bar{A} = X $$
Les propositions suivantes sont équivalentes :
- $A$ est dense dans $X$.
- Tout ouvert non vide de $X$ rencontre $A$. C’est-à-dire, pour tout ouvert $O \neq \emptyset$, on a $A \cap O \neq \emptyset$.
- Le complémentaire de $A$ est d’intérieur vide : $\mathring{(A^c)} = \emptyset$.
Remarque
La deuxième caractérisation est souvent la plus pratique pour les démonstrations. Pour montrer que $A$ est dense, on prend un ouvert quelconque non vide et on montre qu’il contient au moins un élément de $A$.
Exemples Fondamentaux
- L’ensemble des rationnels $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. C’est l’exemple le plus célèbre. On peut le prouver en montrant que tout intervalle ouvert non vide $]a, b[$ contient au moins un nombre rationnel. On a donc $\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$.
- L’ensemble des irrationnels $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$. De la même manière, on peut montrer que tout intervalle ouvert non vide contient au moins un nombre irrationnel.
- $\mathbb{Z}$ n’est pas dense dans $\mathbb{R}$. L’adhérence de $\mathbb{Z}$ est $\mathbb{Z}$ lui-même, ce qui est différent de $\mathbb{R}$. On peut aussi trouver un ouvert non vide qui ne rencontre pas $\mathbb{Z}$, par exemple l’intervalle $]0, 1[$.
- $\mathbb{C}$ est dense dans $\mathbb{C}$. Tout ensemble est dense dans lui-même, car $\bar{X} = X$. C’est un cas trivial.