Notion d’Isométrie entre Espaces
Une isométrie est une transformation entre deux espaces métriques qui préserve les distances. C’est la notion la plus forte d’équivalence « géométrique » entre deux espaces. Intuitivement, deux espaces sont isométriques s’ils sont identiques du point de vue de leurs distances, l’un pouvant être obtenu de l’autre par un déplacement rigide (translation, rotation, symétrie).
Soient $(X, d_X)$ and $(Y, d_Y)$ deux espaces métriques. Une application $f: X \to Y$ est une isométrie si elle conserve les distances : $$ \forall (x_1, x_2) \in X^2, \quad d_Y(f(x_1), f(x_2)) = d_X(x_1, x_2) $$ Si une telle application est de plus surjective, on dit que les espaces $(X, d_X)$ and $(Y, d_Y)$ sont isométriques.
- Injectivité : Toute isométrie est nécessairement injective. Si $f(x_1) = f(x_2)$, alors $d_Y(f(x_1), f(x_2)) = 0$, ce qui implique $d_X(x_1, x_2) = 0$ et donc $x_1 = x_2$.
- Continuité : Toute isométrie est uniformément continue, et donc continue.
- Homéomorphisme : Si une isométrie $f: X \to Y$ est surjective, alors c’est un homéomorphisme. Sa fonction réciproque $f^{-1}$ est également une isométrie.
Isométrie vs. Homéomorphisme
Il est crucial de ne pas confondre ces deux notions :
- Un homéomorphisme préserve les propriétés topologiques (ouverts, voisinages, compacité, connexité). C’est une « déformation continue ».
- Une isométrie préserve la structure métrique (les distances). C’est un « déplacement rigide ».
Toute isométrie surjective est un homéomorphisme, mais la réciproque est fausse.
Exemples
- Translations et rotations dans $\mathbb{R}^n$ sont des isométries de $\mathbb{R}^n$ dans lui-même.
- L’application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x+1$ est une isométrie.
- Non-exemple : L’application $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = 2x$ n’est pas une isométrie, car $d(f(x), f(y)) = |2x – 2y| = 2|x – y| = 2d(x,y)$. Elle est un homéomorphisme, mais elle « étire » les distances.