Opérations sur les Fonctions Continues
La continuité est une propriété remarquablement stable. Les opérations algébriques de base (somme, produit) et la composition préservent la continuité. C’est grâce à ces propriétés que l’on peut affirmer que de vastes classes de fonctions, notamment les fonctions polynomiales et rationnelles, sont continues sur leur domaine de définition sans avoir à revenir à chaque fois à la définition formelle avec les epsilon et delta.
1. Stabilité par Opérations Algébriques
L’ensemble des fonctions continues d’un ensemble $A \subset \mathbb{R}^p$ dans $\mathbb{R}^n$, noté $\mathcal{C}(A, \mathbb{R}^n)$, possède une structure d’espace vectoriel.
Soient $f, g: A \to \mathbb{R}^n$ deux fonctions continues en un point $a \in A$, et soient $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ deux scalaires.
Alors la fonction combinaison linéaire $\lambda f + \mu g$ est continue en $a$.
Cette propriété découle directement des propriétés des limites : $\lim ( \lambda f + \mu g) = \lambda \lim f + \mu \lim g$.
Exemple
Les fonctions de projection $p_i(x_1, \dots, x_p) = x_i$ sont continues. De même, les fonctions constantes sont continues. Toute fonction polynomiale en plusieurs variables est une combinaison linéaire de monômes, qui sont des produits de ces projections. Par conséquent, toute fonction polynomiale est continue sur $\mathbb{R}^p$.
2. Stabilité par Produits et Quotient
Soient $f: A \to \mathbb{R}^n$ et $g: A \to \mathbb{R}^n$ continues en $a$, et soit $\varphi: A \to \mathbb{R}$ une fonction scalaire continue en $a$.
- Produit par un scalaire : La fonction $\varphi f : x \mapsto \varphi(x)f(x)$ est continue en $a$.
- Produit scalaire : La fonction $\langle f, g \rangle : x \mapsto \langle f(x), g(x) \rangle$ est continue en $a$.
- Quotient : Si de plus $\varphi(a) \neq 0$, alors la fonction $f / \varphi : x \mapsto \frac{1}{\varphi(x)}f(x)$ est continue en $a$.
Exemple
La fonction $f(x,y) = \frac{x^2 – y^2}{x^2 + y^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
En effet, le numérateur $N(x,y) = x^2 – y^2$ est un polynôme, donc il est continu.
Le dénominateur $D(x,y) = x^2 + y^2 + 1$ est aussi un polynôme, donc il est continu.
De plus, $D(x,y) \ge 1$ pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, donc il ne s’annule jamais.
Le quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s’annule pas est continu.
3. Stabilité par Composition
La composition est l’opération la plus puissante pour construire de nouvelles fonctions. Heureusement, elle préserve aussi la continuité.
[Image d’un diagramme de composition de fonctions f et g]
Soient $f: A \subset \mathbb{R}^p \to B \subset \mathbb{R}^n$ et $g: B \to \mathbb{R}^m$ deux fonctions.
Si $f$ est continue en un point $a \in A$, et si $g$ est continue au point $f(a) \in B$, alors la fonction composée $g \circ f : A \to \mathbb{R}^m$ est continue en $a$.
Exemple
Considérons la fonction $h(x,y) = \sqrt{1 – x^2 – y^2}$.
On peut la voir comme la composée de deux fonctions :
- $f(x,y) = 1 – x^2 – y^2$. C’est une fonction polynomiale de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$, donc elle est continue sur $\mathbb{R}^2$.
- $g(t) = \sqrt{t}$. C’est une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, continue sur son domaine de définition $[0, +\infty[$.
La fonction $h = g \circ f$ est donc continue en tout point $(x,y)$ où $f$ est continue (partout) et où $g$ est continue en $f(x,y)$.
La condition est donc que $f(x,y) = 1 – x^2 – y^2$ soit dans le domaine de continuité de $g$, c’est-à-dire $1 – x^2 – y^2 \ge 0$.
Ceci est équivalent à $x^2 + y^2 \le 1$.
On conclut que $h$ est continue sur le disque unité fermé $B_f(0,1)$.