Si $f$ et $g$ sont deux fonctions réelles, on définit leur somme $s=f+g$ et leur produit $p=f \times g$ par :
- $s(x) = f(x) + g(x)$
- $p(x) = f(x) \times g(x)$
Le domaine de définition de $s$ et $p$ est l’intersection des domaines de $f$ et $g$.
Si $f$ est une fonction réelle et $\alpha$ un nombre réel, on définit le produit de $f$ par $\alpha$ comme la fonction $g = \alpha \cdot f$ définie par : $$ g(x) = \alpha \times f(x) $$
Soient $f$ et $g$ deux fonctions réelles définies respectivement sur des domaines $E$ et $F$. Si pour tout $x \in E$, l’image $f(x)$ appartient à $F$, on peut définir la fonction composée de $f$ par $g$, notée $g \circ f$, par : $$ (g \circ f)(x) = g(f(x)) $$
Remarques
- Attention à l’ordre de composition : En général, la composition des fonctions n’est pas commutative, c’est-à-dire $g \circ f \neq f \circ g$. Par exemple, si $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$, alors $(g \circ f)(x) = x^2+1$ tandis que $(f \circ g)(x) = (x+1)^2$.
- Attention aux domaines de définition : Le domaine de $g \circ f$ est l’ensemble des $x$ du domaine de $f$ tels que $f(x)$ soit dans le domaine de $g$. Par exemple, si $f(x)=x^2$ (définie sur $\mathbb{R}$) et $g(x)=\sqrt{x}$ (définie sur $\mathbb{R}^+$), alors $g \circ f(x) = \sqrt{x^2} = |x|$ est définie sur $\mathbb{R}$, mais $f \circ g(x) = (\sqrt{x})^2 = x$ n’est définie que sur $\mathbb{R}^+$.