La Somme et Différence de Nombres Relatifs est une notion fondamentale en mathématiques que nous allons décortiquer pas à pas dans cette leçon. Prépare-toi à manipuler les nombres positifs et négatifs avec une facilité déconcertante grâce à des méthodes claires et des astuces infaillibles !

Activité de découverte : Le jeu des températures et de l’ascenseur

Pour bien comprendre comment fonctionnent les nombres relatifs (les nombres avec un signe $+$ ou $-$), imaginons deux situations de la vie de tous les jours : la météo et un ascenseur.

Situation 1 : La station météo
Un matin d’hiver, le thermomètre affiche une température glaciale de $-5$ degrés Celsius. Au cours de la matinée, le soleil se lève et la température augmente de $8$ degrés. Comment trouver la nouvelle température ? Tu pars de $-5$ sur un thermomètre, et tu montes de $8$ graduations. Tu dépasses le zéro et tu arrives à $+3$ degrés. Tu viens de faire ta première addition de nombres relatifs : $(-5) + (+8) = (+3)$.

Situation 2 : L’ascenseur du gratte-ciel
Tu te trouves au $4$-ème sous-sol d’un grand immeuble (on note cet étage $-4$). Tu décides de descendre encore de $2$ étages pour aller au parking le plus bas. À quel étage te trouves-tu ? Tu pars de $-4$ et tu vas encore plus vers le bas. Tu arrives au $6$-ème sous-sol, soit l’étage $-6$. Tu as calculé une nouvelle somme : $(-4) + (-2) = (-6)$.

À travers ces exemples simples, tu vois que les nombres relatifs servent à exprimer des gains et des pertes, des montées et des descentes, des températures positives ou négatives. Découvrons maintenant les règles mathématiques précises pour calculer sans jamais nous tromper.

Je retiens : Vocabulaire et « Distance à zéro »

Avant de calculer la somme et différence de nombres relatifs, il faut absolument maîtriser deux notions fondamentales.

  • Le signe : Un nombre relatif est composé d’un signe ($+$ ou $-$). S’il n’y a pas de signe écrit, c’est qu’il s’agit d’un nombre positif (par exemple, $7$ est la même chose que $+7$).
  • La distance à zéro : C’est la valeur du nombre sans son signe. C’est simplement l’écart qui sépare ce nombre de zéro sur une droite graduée. Par exemple, la distance à zéro de $+5$ est $5$. La distance à zéro de $-8$ est $8$. Une distance est toujours positive !
  • Nombres opposés : Deux nombres sont dits « opposés » s’ils ont la même distance à zéro mais des signes contraires. Par exemple, $+4$ et $-4$ sont des nombres opposés. Leur particularité est magique : la somme de deux nombres opposés est toujours égale à zéro.

Je retiens : L’addition de Nombres Relatifs

Pour additionner deux nombres relatifs, il y a deux règles distinctes à apprendre par cœur. Il faut toujours regarder les signes des deux nombres avant de se lancer dans le calcul.

Règle n°1 : Additionner deux nombres de MÊME signe

Si les deux nombres ont le même signe (tous les deux positifs, ou tous les deux négatifs), la règle est simple car ils « s’entraident ». C’est comme gagner deux fois de suite, ou perdre deux fois de suite.

  • Le signe du résultat : On garde le signe commun aux deux nombres.
  • La distance à zéro du résultat : On additionne les deux distances à zéro.

Règle n°2 : Additionner deux nombres de signes CONTRAIRES

Si les deux nombres ont des signes différents (un positif et un négatif), ils se « combattent ». C’est comme si tu gagnais de l’argent puis que tu en perdais. Le résultat dépend de qui est le plus fort !

  • Le signe du résultat : On garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro (celui qui est le plus éloigné de zéro gagne la bataille des signes).
  • La distance à zéro du résultat : On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande distance à zéro (on calcule l’écart entre les deux).

Méthodes et Exemples résolus : L’addition

Appliquons ces deux règles avec des exemples précis pour bien les mémoriser.

Exemple 1 : Calculer $A = (-3) + (-6)$

  • Je repère l’opération : c’est une addition.
  • Je regarde les signes : $-3$ est négatif, $-6$ est négatif. Ils ont le même signe.
  • J’applique la Règle n°1 : je garde le signe commun, qui est le signe $-$.
  • J’additionne les distances à zéro : $3 + 6 = 9$.
  • Le résultat final est : $A = -9$. (J’ai perdu $3$, j’ai perdu $6$, en tout j’ai perdu $9$).

Exemple 2 : Calculer $B = (+5) + (+7)$

  • C’est une addition de nombres de même signe (positifs).
  • Je garde le signe $+$ et j’additionne $5$ et $7$.
  • Le résultat final est : $B = +12$.

Exemple 3 : Calculer $C = (-8) + (+5)$

  • C’est une addition de nombres de signes contraires. Le premier est négatif, le deuxième est positif. Ils vont se battre.
  • Qui a la plus grande distance à zéro ? C’est $-8$ (sa distance à zéro est $8$, ce qui est plus grand que $5$). Le signe du résultat sera donc le signe de $-8$, c’est-à-dire le signe $-$.
  • Je soustrais les distances à zéro : le grand moins le petit, donc $8 – 5 = 3$.
  • Le résultat final est : $C = -3$. (J’ai perdu $8$, j’ai gagné $5$, je suis toujours perdant de $3$).

Exemple 4 : Calculer $D = (+10) + (-4)$

  • Additions de signes contraires.
  • La plus grande distance à zéro appartient à $+10$. Le signe du résultat est donc $+$.
  • Je soustrais les distances à zéro : $10 – 4 = 6$.
  • Le résultat final est : $D = +6$.

Je retiens : La soustraction de Nombres Relatifs

Voici la meilleure nouvelle de cette leçon : tu n’as pas de nouvelle règle de calcul à apprendre pour la soustraction ! Pourquoi ? Parce que nous allons transformer chaque soustraction en une addition.

La Règle d’Or de la soustraction :
Soustraire un nombre relatif revient exactement à additionner son opposé.

Pour calculer une soustraction, il faut donc modifier l’écriture en respectant ces trois étapes strictes :

  1. On garde le premier nombre tel qu’il est. On n’y touche absolument pas.
  2. On change le signe de la soustraction ($-$) en un signe d’addition ($+$).
  3. On change le deuxième nombre en son opposé (s’il était positif, il devient négatif ; s’il était négatif, il devient positif).

Une fois la transformation effectuée, on retombe sur une simple addition et on applique les règles vues précédemment !

Méthodes et Exemples résolus : La soustraction

Voyons comment transformer la différence pour la calculer sans erreur.

Exemple 1 : Calculer $E = (+5) – (+8)$

  • C’est une soustraction. Je dois la transformer.
  • Le premier nombre $(+5)$ reste intact.
  • Le signe de soustraction $-$ devient un signe $+$.
  • Le deuxième nombre $(+8)$ se transforme en son opposé, c’est-à-dire $(-8)$.
  • Le calcul devient une addition : $E = (+5) + (-8)$.
  • Maintenant, j’applique la règle de l’addition (signes contraires) : le signe est celui de la plus grande distance à zéro (donc le $-$ de $8$), et je soustrais $8 – 5 = 3$.
  • Le résultat final est : $E = -3$.

Exemple 2 : Calculer $F = (-4) – (-7)$

  • C’est une soustraction. Je la transforme.
  • Je garde $(-4)$. Je transforme le $-$ en $+$. Je remplace $(-7)$ par son opposé $(+7)$.
  • Le calcul devient : $F = (-4) + (+7)$.
  • Addition de signes contraires : $+7$ a la plus grande distance à zéro, le résultat est positif. Je fais la différence $7 – 4 = 3$.
  • Le résultat final est : $F = +3$.

Je retiens : Simplification d’écriture (Somme algébrique)

Quand tu seras à l’aise avec ces règles, tu remarqueras que toutes ces parenthèses alourdissent les calculs. En mathématiques, on aime simplifier l’écriture pour aller plus vite. Une suite d’additions et de soustractions est appelée une somme algébrique.

Voici comment alléger l’écriture d’une expression :

  • On transforme d’abord toutes les soustractions en additions (c’est indispensable).
  • On supprime les signes d’addition ($+$) qui séparent les nombres.
  • On supprime les parenthèses autour des nombres.
  • On supprime le signe $+$ du premier nombre s’il est positif.

Exemple de simplification :
Soit l’expression $G = (+5) + (-3) – (-7) + (+2)$

  • Étape 1 (transformer les soustractions en additions) : $G = (+5) + (-3) + (+7) + (+2)$
  • Étape 2 (simplifier l’écriture en enlevant les parenthèses et les $+$ des additions) : $G = 5 – 3 + 7 + 2$

Pour calculer cette expression simplifiée $5 – 3 + 7 + 2$, on peut regrouper les nombres positifs ensemble ($5 + 7 + 2 = 14$) et les nombres négatifs ensemble (ici juste $-3$), ce qui donne $14 – 3 = 11$.

Attention aux pièges fréquents !

Les erreurs sur les nombres relatifs sont très courantes. Voici les pièges dans lesquels tu ne dois surtout pas tomber :

  • La confusion avec la règle de la multiplication : Tu as peut-être déjà entendu « Moins par moins, ça fait plus ». ATTENTION ! Cette phrase est strictement réservée à la multiplication. Pour une addition, $(-2) + (-3)$ donne $(-5)$, et non pas $+5$. Ne mélange jamais les règles d’addition et de multiplication.
  • Oublier de transformer le deuxième nombre dans une soustraction : Dans le calcul $(+4) – (-5)$, beaucoup d’élèves changent le $-$ du milieu en $+$, mais oublient de changer le $(-5)$ en $(+5)$. Ils écrivent $(+4) + (-5)$ au lieu de $(+4) + (+5)$. La règle d’or dit de changer l’opération ET le nombre qui suit.
  • Croire que $5 – 8$ est impossible : À l’école primaire, c’était impossible. Au collège, avec les nombres relatifs, c’est possible ! Le calcul $5 – 8$ est en réalité $(+5) – (+8)$, ce qui donne $(-3)$. Tu peux désormais soustraire un grand nombre d’un petit nombre, le résultat sera simplement négatif.

Exercices d’application progressifs

La clé du succès avec la somme et différence de nombres relatifs, c’est l’entraînement intensif. Prends une feuille, un stylo, et pose les calculs suivants en écrivant bien les étapes. Interdiction d’utiliser la calculatrice !

Série 1 : Addition de nombres de même signe

Exercice 1 : Calcule les sommes suivantes.
a) $(+4) + (+9)$
b) $(-5) + (-7)$
c) $(+12) + (+8)$

Exercice 2 : Calcule les sommes suivantes.
a) $(-15) + (-5)$
b) $(-2,5) + (-3,5)$
c) $(+14) + (+6)$

Exercice 3 : Calcule les sommes suivantes.
a) $(-100) + (-200)$
b) $(-4,1) + (-5,8)$
c) $(+0,5) + (+1,5)$

Série 2 : Addition de nombres de signes contraires

Exercice 4 : Calcule les sommes en repérant bien qui a la plus grande distance à zéro.
a) $(-8) + (+3)$
b) $(+10) + (-4)$
c) $(-5) + (+12)$

Exercice 5 : Calcule les sommes suivantes.
a) $(+7) + (-15)$
b) $(-14) + (+14)$
c) $(-20) + (+5)$

Exercice 6 : Calcule avec des nombres décimaux.
a) $(-3,5) + (+2)$
b) $(+4,2) + (-6,2)$
c) $(-1,5) + (+8,5)$

Série 3 : La Soustraction (Transforme d’abord !)

Exercice 7 : Transforme chaque soustraction en addition, puis calcule le résultat.
a) $(+8) – (+3)$
b) $(-5) – (+4)$
c) $(+7) – (-2)$

Exercice 8 : Transforme et calcule.
a) $(-10) – (-6)$
b) $(-3) – (-12)$
c) $(+5) – (+15)$

Exercice 9 : Transforme et calcule avec des décimaux.
a) $(-4,5) – (+2,5)$
b) $(+8,2) – (-1,8)$
c) $(-3,4) – (-3,4)$

Série 4 : Suites d’opérations et Simplifications

Exercice 10 : Écris ces expressions sous forme simplifiée (sans parenthèses), puis calcule-les en regroupant les positifs d’un côté et les négatifs de l’autre.
a) $A = (+4) + (-7) + (+2)$
b) $B = (-5) + (-3) + (+8) + (-2)$
c) $C = (+12) + (-10) + (-4) + (+5)$

Exercice 11 : Transforme d’abord les soustractions en additions, simplifie l’écriture, puis calcule.
a) $D = (+8) – (-4) + (-3)$
b) $E = (-5) – (+2) – (-9)$

Exercice 12 : Calcule directement ces expressions déjà simplifiées.
a) $F = 5 – 8 + 3 – 2$
b) $G = -4 – 6 + 10 – 5$
c) $H = 12 – 15 – 3 + 8$

Série 5 : Problèmes de la vie courante

Exercice 13 (Problème de température) :
À $6$ heures du matin, la température à Montréal est de $-12^\circ\text{C}$. À midi, la température a monté de $15^\circ\text{C}$. Le soir, elle chute de $8^\circ\text{C}$.
Écris le calcul correspondant à cette situation, puis trouve la température du soir.

Exercice 14 (Problème du compte bancaire) :
Monsieur Dupont a un découvert à la banque : son solde est de $-150$ euros. Il dépose un chèque de $400$ euros sur son compte. Quelques jours plus tard, il paie une facture de $300$ euros avec sa carte bleue.
Quel est le solde final du compte de Monsieur Dupont ? Est-il à découvert ou en positif ?

Exercice 15 (Problème d’Histoire) :
Pour mesurer le temps en Histoire, on utilise les nombres relatifs (l’année de naissance de Jésus-Christ est l’année zéro). Un célèbre philosophe grec est né en l’an $-470$ (avant J.-C.) et il a vécu pendant $71$ ans.
En quelle année est-il mort ? (Écris le calcul avec des nombres relatifs).

Corrections détaillées étape par étape

Voici la partie la plus importante du cours. Vérifie chacun de tes résultats avec minutie. Si tu as fait une erreur, lis attentivement l’explication pour comprendre à quelle étape tu t’es trompé : sur le signe, sur le calcul de la distance à zéro, ou sur la transformation de la soustraction.

Correction de la Série 1 : Addition de même signe

Correction de l’Exercice 1 :
a) $(+4) + (+9)$. Les deux nombres sont positifs (même signe). Je garde le signe $+$. J’additionne les distances à zéro : $4 + 9 = 13$. Le résultat est $+13$ (ou simplement $13$).
b) $(-5) + (-7)$. Les deux nombres sont négatifs. Je garde le signe commun, donc le signe $-$. J’additionne les distances à zéro : $5 + 7 = 12$. Le résultat est $-12$.
c) $(+12) + (+8)$. Deux nombres positifs. Je garde le $+$. J’additionne $12 + 8 = 20$. Résultat : $+20$.

Correction de l’Exercice 2 :
a) $(-15) + (-5)$. Même signe (négatif). Je garde le signe $-$. J’additionne $15 + 5 = 20$. Résultat : $-20$.
b) $(-2,5) + (-3,5)$. Même signe (négatif). Je garde le $-$. J’additionne les valeurs : $2,5 + 3,5 = 6,0$. Résultat : $-6$.
c) $(+14) + (+6)$. Même signe (positif). Je garde le $+$. La somme $14 + 6$ donne $20$. Résultat : $+20$.

Correction de l’Exercice 3 :
a) $(-100) + (-200)$. Même signe. Je garde le $-$. Somme de $100 + 200 = 300$. Résultat : $-300$.
b) $(-4,1) + (-5,8)$. Même signe. Je garde le $-$. J’additionne $4,1 + 5,8 = 9,9$. Résultat : $-9,9$.
c) $(+0,5) + (+1,5)$. Même signe. Je garde le $+$. Somme $0,5 + 1,5 = 2,0$. Résultat : $+2$.

Correction de la Série 2 : Addition de signes contraires

Correction de l’Exercice 4 :
a) $(-8) + (+3)$. Signes contraires. La plus grande distance à zéro est $8$ (pour le nombre $-8$). Le résultat sera donc négatif ($-$). Je soustrais les valeurs : $8 – 3 = 5$. Le résultat est $-5$.
b) $(+10) + (-4)$. Signes contraires. La plus grande distance à zéro est $10$. Le résultat sera positif ($+$). Je soustrais : $10 – 4 = 6$. Le résultat est $+6$.
c) $(-5) + (+12)$. Signes contraires. La plus grande distance à zéro est $12$. Le résultat sera positif ($+$). Je soustrais : $12 – 5 = 7$. Le résultat est $+7$.

Correction de l’Exercice 5 :
a) $(+7) + (-15)$. Signes contraires. La plus grande distance à zéro est $15$. Le signe sera $-$. Je soustrais le plus petit du plus grand : $15 – 7 = 8$. Résultat : $-8$.
b) $(-14) + (+14)$. Signes contraires. Ici, les deux distances à zéro sont égales (c’est $14$). Ce sont des nombres opposés. Je te l’ai dit dans le cours : la somme de deux nombres opposés est toujours nulle. $14 – 14 = 0$. Le résultat est $0$ (zéro n’a pas de signe, il est à la fois positif et négatif).
c) $(-20) + (+5)$. Signes contraires. Le nombre avec la plus grande distance à zéro est $-20$. Le signe du résultat est $-$. On calcule $20 – 5 = 15$. Résultat : $-15$.

Correction de l’Exercice 6 :
a) $(-3,5) + (+2)$. La plus grande distance est $3,5$. Le signe est $-$. On calcule la différence : $3,5 – 2 = 1,5$. Résultat : $-1,5$.
b) $(+4,2) + (-6,2)$. La plus grande distance est $6,2$. Le signe est $-$. La différence est $6,2 – 4,2 = 2,0$. Résultat : $-2$.
c) $(-1,5) + (+8,5)$. La plus grande distance est $8,5$. Le signe est $+$. La différence est $8,5 – 1,5 = 7,0$. Résultat : $+7$.

Correction de la Série 3 : La Soustraction

Correction de l’Exercice 7 :
Ici, il est OBLIGATOIRE de réécrire l’opération sous forme d’addition.
a) $(+8) – (+3)$ se transforme. Je garde $(+8)$. Le $-$ devient $+$. Le $(+3)$ devient son opposé $(-3)$. Le nouveau calcul est : $(+8) + (-3)$. Signes contraires, $+8$ l’emporte, je soustrais $8-3$. Résultat : $+5$.
b) $(-5) – (+4)$. Je garde $(-5)$. Le $-$ devient $+$. Le $(+4)$ devient $(-4)$. Le calcul est $(-5) + (-4)$. Addition de même signe (négatif). J’additionne $5+4$. Résultat : $-9$.
c) $(+7) – (-2)$. Je garde $(+7)$. Le $-$ devient $+$. Le $(-2)$ devient $(+2)$. Le calcul est $(+7) + (+2)$. Addition de même signe (positif). J’additionne $7+2$. Résultat : $+9$.

Correction de l’Exercice 8 :
a) $(-10) – (-6)$. Se transforme en $(-10) + (+6)$. Signes contraires. C’est le $-10$ qui l’emporte, donc signe $-$. Soustraction des valeurs $10 – 6 = 4$. Résultat : $-4$.
b) $(-3) – (-12)$. Se transforme en $(-3) + (+12)$. Signes contraires. Le $+12$ l’emporte, signe $+$. Soustraction $12 – 3 = 9$. Résultat : $+9$.
c) $(+5) – (+15)$. Se transforme en $(+5) + (-15)$. Signes contraires. Le $-15$ l’emporte, signe $-$. Soustraction $15 – 5 = 10$. Résultat : $-10$.

Correction de l’Exercice 9 :
a) $(-4,5) – (+2,5)$ devient $(-4,5) + (-2,5)$. Même signe ($-$). On additionne $4,5 + 2,5 = 7,0$. Résultat : $-7$.
b) $(+8,2) – (-1,8)$ devient $(+8,2) + (+1,8)$. Même signe ($+$). On additionne $8,2 + 1,8 = 10,0$. Résultat : $+10$.
c) $(-3,4) – (-3,4)$. Tu as peut-être remarqué qu’on soustrait un nombre à lui-même. Ça fait toujours zéro ! Vérifions : $(-3,4) + (+3,4)$. Ce sont deux nombres opposés, leur somme est bien égale à $0$.

Correction de la Série 4 : Suites d’opérations

Correction de l’Exercice 10 :
a) $A = (+4) + (-7) + (+2)$. Pour simplifier, j’enlève les parenthèses et les $+$ d’addition. Le premier nombre positif perd son $+$. L’expression devient : $A = 4 – 7 + 2$. Pour calculer, je regroupe les positifs : $4 + 2 = 6$. Le calcul devient $6 – 7$. (C’est-à-dire $+6$ et $-7$). Le résultat est $A = -1$.
b) $B = (-5) + (-3) + (+8) + (-2)$. Je simplifie : le premier nombre garde son signe $-$, j’obtiens $B = -5 – 3 + 8 – 2$. Je regroupe les nombres de même signe. Les négatifs ensemble : $(-5) + (-3) + (-2) = -10$. Les positifs ensemble : $+8$. Le calcul devient $B = -10 + 8$. C’est une addition de signes contraires, le $-10$ gagne. Résultat : $B = -2$.
c) $C = (+12) + (-10) + (-4) + (+5)$. Je simplifie : $C = 12 – 10 – 4 + 5$. Je regroupe les positifs : $12 + 5 = 17$. Je regroupe les négatifs : $(-10) + (-4) = -14$. Le calcul devient $C = 17 – 14$. Résultat classique : $C = 3$ (ou $+3$).

Correction de l’Exercice 11 :
Ici, attention, il y a des soustractions cachées ! Il faut d’abord les transformer.
a) $D = (+8) – (-4) + (-3)$. Je transforme la soustraction du milieu : le $-$ devient $+$, et le $(-4)$ devient $(+4)$. L’expression devient : $D = (+8) + (+4) + (-3)$. Maintenant, je simplifie l’écriture : $D = 8 + 4 – 3$. Je calcule de gauche à droite ou par groupes : $8+4 = 12$, et $12-3 = 9$. Résultat : $D = 9$.
b) $E = (-5) – (+2) – (-9)$. Je dois transformer LES DEUX soustractions. Le premier $-$ devient $+$, le $(+2)$ devient $(-2)$. Le deuxième $-$ devient $+$, le $(-9)$ devient $(+9)$. L’expression devient : $E = (-5) + (-2) + (+9)$. Je simplifie l’écriture : $E = -5 – 2 + 9$. Je regroupe les négatifs : $-5-2 = -7$. Le calcul est $-7 + 9$. C’est le positif qui gagne. Résultat : $E = 2$.

Correction de l’Exercice 12 :
Les écritures sont déjà simplifiées. L’astuce est de regrouper habilement les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux.
a) $F = 5 – 8 + 3 – 2$. Les positifs : $5 + 3 = 8$. Les négatifs : $-8 – 2 = -10$. Le calcul final est $8 – 10$ (ce qui revient à faire $+8$ et $-10$). Le $-10$ a la plus grande distance, le signe sera $-$, la différence est $2$. Résultat : $F = -2$.
b) $G = -4 – 6 + 10 – 5$. Les positifs : $10$. Les négatifs : $-4 – 6 – 5 = -15$. Le calcul final est $10 – 15$ (ce qui veut dire $(+10) + (-15)$). Le résultat est $G = -5$.
c) $H = 12 – 15 – 3 + 8$. Les positifs : $12 + 8 = 20$. Les négatifs : $-15 – 3 = -18$. Le calcul final est $20 – 18$. C’est une soustraction basique. Résultat : $H = 2$.

Correction de la Série 5 : Problèmes de la vie courante

Correction de l’Exercice 13 :
Traduisons le problème avec des nombres relatifs. Température initiale : $-12$. Monter de $15^\circ\text{C}$ s’écrit $+15$ (on fait une addition). Chuter de $8^\circ\text{C}$ s’écrit $-8$ (ou on ajoute $(-8)$).
Le calcul complet s’écrit : $(-12) + (+15) + (-8)$.
Écriture simplifiée : $-12 + 15 – 8$.
Calculons ce résultat : je regroupe les baisses de température (les négatifs) : $-12 – 8 = -20$. Il y a eu une hausse de $+15$. Le calcul devient $-20 + 15$. La plus grande distance à zéro est pour les nombres négatifs. La différence $20-15$ fait $5$. Le résultat est $-5$.
La température le soir à Montréal est de $-5^\circ\text{C}$.

Correction de l’Exercice 14 :
Traduisons la situation bancaire. Un découvert est un nombre négatif : $-150$. Un dépôt d’argent est positif : on ajoute $(+400)$. Un paiement par carte est une dépense, donc c’est négatif : on ajoute $(-300)$ ou on soustrait $300$.
Le calcul est : $(-150) + (+400) + (-300)$.
En écriture simplifiée : $-150 + 400 – 300$.
Regroupons les dépenses (les nombres négatifs) : $-150 – 300 = -450$. Le total des dépôts est de $400$. Le calcul final est $-450 + 400$. Le résultat est une addition de signes contraires, le $-450$ l’emporte. Résultat : $-50$.
Le solde de Monsieur Dupont est de $-50$ euros. Il est toujours à découvert.

Correction de l’Exercice 15 :
En Histoire, si une personne naît à une année donnée (ici $-470$) et qu’on cherche son année de mort, on doit ADDITIONNER son temps de vie (les années qui se sont écoulées, donc un nombre positif).
Le calcul à effectuer est : $(-470) + (+71)$.
C’est une addition de deux nombres de signes contraires. La plus grande distance à zéro est $470$, le signe du résultat sera donc négatif ($-$ : le philosophe est mort avant J.-C.).
Il faut faire la soustraction des distances à zéro : $470 – 71$.
En posant la soustraction ou de tête : $470 – 70 = 400$, puis $400 – 1 = 399$.
Le résultat mathématique est $-399$.
Ce célèbre philosophe grec (qui s’appelle Socrate, d’ailleurs !) est donc mort en l’an $-399$ (ou 399 avant J.-C.).