Ordre d’un Élément
Dans un groupe, l’ordre d’un élément est une notion qui mesure le « comportement cyclique » de cet élément. Intuitivement, c’est le nombre de fois qu’il faut composer l’élément avec lui-même pour retomber sur l’élément neutre.
Définition : Ordre d’un Élément
Soit $(G, \star)$ un groupe d’élément neutre $e$, et soit $x$ un élément de $G$.
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On dit que $x$ est d’ordre fini s’il existe un entier $k \ge 1$ tel que $x^k = e$ (où $x^k = x \star x \star \dots \star x$, $k$ fois).
L’ordre de $x$ est alors le plus petit de ces entiers $k \ge 1$. On le note $o(x)$ ou $|x|$. - Si un tel entier n’existe pas, on dit que $x$ est d’ordre infini. On note alors $o(x) = \infty$.
Remarques Importantes
- L’élément neutre $e$ est le seul élément d’ordre 1.
- Si $x$ est d’ordre $k$, alors son symétrique $x’$ est aussi d’ordre $k$.
- Dans un groupe fini, tous les éléments sont d’ordre fini (conséquence du théorème de Lagrange).
Exemples
- Dans le groupe $(\mathbb{Z}, +)$ : L’élément neutre est 0. Le seul élément d’ordre fini est 0 (d’ordre 1). Tous les autres éléments, comme 2, sont d’ordre infini car $2+2+\dots+2 = 2k$ n’est jamais égal à 0 pour $k \ge 1$.
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Dans le groupe $(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}, +)$ :
- $o(\bar{0}) = 1$
- $o(\bar{1}) = 6$ (car $\bar{1} \times 6 = \bar{6} = \bar{0}$)
- $o(\bar{2}) = 3$ (car $\bar{2} \times 3 = \bar{6} = \bar{0}$)
- $o(\bar{3}) = 2$ (car $\bar{3} \times 2 = \bar{6} = \bar{0}$)
- Dans le groupe $(\mathbb{C}^*, \times)$ : Les éléments d’ordre fini sont les racines de l’unité. Par exemple, l’élément $i$ est d’ordre 4 car $i^4 = 1$. L’élément $j = e^{2i\pi/3}$ est d’ordre 3. Le nombre 2 est d’ordre infini.