On utilise les symboles suivants pour comparer deux nombres rationnels $a$ et $b$ :
- $a < b$ : $a$ est strictement **inférieur** à $b$.
- $a \le b$ : $a$ est **inférieur ou égal** à $b$.
- $a > b$ : $a$ est strictement **supérieur** à $b$.
- $a \ge b$ : $a$ est **supérieur ou égal** à $b$.
Une expression utilisant l’un de ces symboles est appelée une **inégalité**.
I. Effet de l’Addition et de la Soustraction
L’ordre ne change pas lorsqu’on ajoute ou que l’on soustrait le même nombre aux deux membres d’une inégalité.
Soient $a$, $b$, et $c$ trois nombres rationnels :
- Si $a < b$, alors : $$ a + c < b + c $$
- Si $a \le b$, alors : $$ a – c \le b – c $$
Soit $x$ un nombre rationnel tel que : $$ 2 < x \le 5 $$
Donner l’encadrement des expressions suivantes :
- $x + 3$
- $x – 7$
1. Encadrement de $x + 3$ : On ajoute $3$ à tous les membres.
$$ 2 + 3 < x + 3 \le 5 + 3 $$ $$ 5 < x + 3 \le 8 $$2. Encadrement de $x – 7$ : On soustrait $7$ à tous les membres.
$$ 2 – 7 < x - 7 \le 5 - 7 $$ $$ -5 < x - 7 \le -2 $$II. Effet de la Multiplication et de la Division
II.1 Multiplication/Division par un nombre Positif
L’ordre **ne change pas** lorsqu’on multiplie ou que l’on divise par un nombre strictement **positif** les deux membres d’une inégalité.
Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels, et $c > 0$ :
- Si $a < b$, alors : $$ a \times c < b \times c $$
- Si $a \le b$, alors : $$ \frac{a}{c} \le \frac{b}{c} $$
II.2 Multiplication/Division par un nombre Négatif
L’ordre **change (s’inverse)** lorsqu’on multiplie ou que l’on divise par un nombre strictement **négatif** les deux membres d’une inégalité.
Soient $a$ et $b$ deux nombres rationnels, et $c < 0$ :
- Si $a < b$, alors : $$ a \times c > b \times c $$
- Si $a \le b$, alors : $$ \frac{a}{c} \ge \frac{b}{c} $$
Soit $y$ un nombre rationnel tel que : $$ -1 \le y < 4 $$
Donner l’encadrement des expressions suivantes :
- $3y$
- $-2y$
- $\frac{y}{2} – 1$
1. Encadrement de $3y$ : On multiplie par $3$ (positif), l’ordre ne change pas.
$$ -1 \times 3 \le 3y < 4 \times 3 $$ $$ -3 \le 3y < 12 $$2. Encadrement de $-2y$ : On multiplie par $-2$ (négatif), l’ordre **s’inverse**.
$$ -1 \times (-2) \ge -2y > 4 \times (-2) $$ $$ 2 \ge -2y > -8 $$On préfère écrire l’inégalité dans l’ordre croissant (la borne inférieure à gauche) :
$$ -8 < -2y \le 2 $$3. Encadrement de $\frac{y}{2} – 1$ : (Deux étapes)
- **Étape 1 : Division par $2$** (positif, ordre inchangé) : $$ \frac{-1}{2} \le \frac{y}{2} < \frac{4}{2} $$ $$ -0,5 \le \frac{y}{2} < 2 $$
- **Étape 2 : Soustraction de $1$** (ordre inchangé) : $$ -0,5 – 1 \le \frac{y}{2} – 1 < 2 - 1 $$ $$ -1,5 \le \frac{y}{2} - 1 < 1 $$
III. Addition d’Inégalités
On peut additionner deux inégalités de **même sens** membre à membre. Le sens de l’inégalité est conservé.
Soient $a, b, c, d$ des nombres rationnels :
Si $a \le b$ et $c \le d$, alors : $$ a + c \le b + d $$
Attention : On ne peut pas soustraire, multiplier ou diviser des inégalités membre à membre avec ces règles de base (la multiplication nécessite des conditions supplémentaires, et la soustraction inverse le sens d’une inégalité pour utiliser l’addition).
Soient $x$ et $y$ deux nombres tels que : $$ 3 \le x \le 5 \quad \text{et} \quad -2 < y < 1 $$
Donner l’encadrement de la somme $x + y$.
On ajoute les bornes inférieures et les bornes supérieures :
$$ (3) + (-2) \le x + y < (5) + (1) $$ $$ 1 \le x + y < 6 $$Notez que la borne supérieure reste strictement inférieure ($<$) car l'une des inégalités de départ était stricte.