Orientation d’une Surface
Contrairement à l’intégrale d’un champ scalaire, le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface dépend crucialement de la manière dont on « traverse » cette surface. Cette notion de « sens de traversée » est formalisée par l’orientation de la surface. Orienter une surface, c’est choisir de manière continue en chaque point un des deux vecteurs normaux possibles.
1. Le Choix d’un Côté
Une surface « orientable » est une surface qui a deux côtés distincts. Pensez à une feuille de papier : elle a un recto et un verso. Orienter la surface revient à choisir l’un de ces côtés comme étant le « côté positif ».
Mathématiquement, ce choix est matérialisé par la sélection d’un champ de vecteurs normaux unitaires $\vec{n}$ qui varie continûment sur la surface. En chaque point, on a deux choix pour $\vec{n}$ : un qui pointe d’un côté, et son opposé $-\vec{n}$ qui pointe de l’autre.
[Image d’une surface avec un champ de vecteurs normaux]2. Orientation pour une Surface Paramétrée
Pour une surface paramétrée par $\vec{r}(u,v)$, nous avons vu que le vecteur $\vec{N} = \vec{r}_u \wedge \vec{r}_v$ est normal à la surface.
La paramétrisation $\vec{r}(u,v)$ induit une orientation naturelle sur la surface, celle donnée par le champ de vecteurs normaux : $$ \vec{N}(u,v) = \vec{r}_u(u,v) \wedge \vec{r}_v(u,v) $$ L’orientation opposée est donnée par le vecteur $-\vec{N} = \vec{r}_v \wedge \vec{r}_u$.
Pour le calcul du flux $\iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S}$, il est impératif de s’assurer que le vecteur normal $\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v$ correspond à l’orientation demandée par l’énoncé (par exemple, « vers le haut », « vers l’extérieur », etc.). Si ce n’est pas le cas, il faut prendre son opposé, ce qui revient à changer le signe du résultat final.
3. Conventions d’Orientation Usuelles
Surfaces Graphes $z=f(x,y)$
Pour une surface donnée par le graphe d’une fonction, il y a deux orientations naturelles :
- Orientation positive (vers le haut) : Le vecteur normal a une composante en $z$ positive. Le vecteur normal standard est $\vec{N} = (-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1)$.
- Orientation négative (vers le bas) : Le vecteur normal a une composante en $z$ négative. $\vec{N} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, -1)$.
Surfaces Fermées
Une surface fermée est une surface qui est la frontière d’un solide (comme une sphère, un cube, etc.).
Par convention, l’orientation positive d’une surface fermée est toujours celle où les vecteurs normaux pointent vers l’extérieur du solide qu’elle délimite. Le flux calculé avec cette orientation est appelé le « flux sortant ».
Exemple : Sphère de rayon R. La paramétrisation usuelle $\vec{r}(\phi, \theta)$ donne un vecteur normal $\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta$ qui est colinéaire au vecteur position $\vec{r}$. Il pointe donc bien vers l’extérieur. C’est l’orientation positive.
4. Surfaces Non Orientables
Il existe des surfaces qui n’ont qu’un seul côté. Il est impossible de définir un champ de vecteurs normaux continu sur toute leur étendue. L’exemple le plus célèbre est le ruban de Möbius. Si vous essayez de « peindre » un côté du ruban, vous finirez par peindre toute la surface sans jamais lever votre pinceau.
[Image d’un ruban de Möbius]On ne peut pas définir le flux d’un champ de vecteurs à travers une surface non orientable. Heureusement, ces surfaces sont rares dans les applications physiques courantes.