L’**Orthogonalité euclidienne** constitue le fondement structurel des espaces préhilbertiens réels de dimension finie. Ce concept algébrique généralise la notion géométrique de perpendicularité par l’intermédiaire du produit scalaire.
Définitions formelles de l’Orthogonalité euclidienne
Soit $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ un espace préhilbertien réel. Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
$$ x \perp y \iff \langle x, y \rangle = 0 $$Cette relation d’orthogonalité est symétrique en raison de la bilinéarité symétrique du produit scalaire. Elle définit une structure métrique rigoureuse sur l’espace vectoriel.
Orthogonal d’un sous-ensemble
Soit $S$ une partie non vide de $E$. On appelle orthogonal de $S$, noté $S^\perp$, l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tous les éléments de $S$.
$$ S^\perp = \{ x \in E \mid \forall y \in S, \langle x, y \rangle = 0 \} $$L’ensemble $S^\perp$ possède systématiquement une structure de sous-espace vectoriel de $E$. Cette propriété est vérifiée même si $S$ n’est pas lui-même un sous-espace.
Théorèmes fondamentaux et Propriétés
L’orthogonalité permet d’établir des relations métriques fondamentales entre les normes des vecteurs. Ces résultats structurent l’analyse fonctionnelle et la géométrie classique.
Théorème de Pythagore
Le théorème de Pythagore généralisé exprime la norme de la somme de deux vecteurs orthogonaux. Soient $x, y \in E$ tels que $x \perp y$.
$$ \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 $$Preuve : Développons la norme au carré en utilisant les propriétés de bilinéarité du produit scalaire interne.
$$ \|x + y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle = \langle x, x \rangle + 2\langle x, y \rangle + \langle y, y \rangle $$Par hypothèse d’orthogonalité, nous avons $\langle x, y \rangle = 0$. Par conséquent, l’expression se simplifie immédiatement.
$$ \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + 0 + \|y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 $$La relation est ainsi démontrée par calcul direct. $\blacksquare$
Supplémentarité et Projection
Dans un espace de dimension finie, l’orthogonalité permet de décomposer l’espace de manière unique. Cette décomposition repose sur la notion de supplémentalité orthogonale.
Théorème du supplémentaire orthogonal
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. Alors $F$ et $F^\perp$ sont supplémentaires dans $E$.
$$ E = F \oplus F^\perp $$Tout vecteur $x \in E$ se décompose de manière unique sous la forme $x = p_F(x) + p_{F^\perp}(x)$. Ici, $p_F(x)$ désigne la projection orthogonale de $x$ sur $F$.
Preuve : Soit $(e_1, \dots, e_n)$ une base orthonormée de $F$. Pour tout $x \in E$, posons le vecteur suivant :
$$ y = \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle e_i $$Par construction, $y \in F$. Vérifions que le vecteur $z = x – y$ appartient à $F^\perp$. Pour tout $j \in \{1, \dots, n\}$, calculons le produit scalaire :
$$ \langle z, e_j \rangle = \langle x – y, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle – \sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle e_i, e_j \rangle $$Puisque la base est orthonormée, $\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}$. La somme se réduit alors à un seul terme.
$$ \langle z, e_j \rangle = \langle x, e_j \rangle – \langle x, e_j \rangle = 0 $$Le vecteur $z$ est orthogonal à tous les vecteurs de la base de $F$, donc $z \in F^\perp$. $\blacksquare$
Exemples et Contre-exemples
L’application des concepts d’orthogonalité varie selon la définition du produit scalaire choisi. Les exemples suivants illustrent cette diversité.
Exemple : Espace des fonctions continues
Considérons l’espace $C^0([-1, 1], \mathbb{R})$ muni du produit scalaire intégral classique. Les fonctions doivent être intégrables.
$$ \langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 f(t)g(t) \, dt $$Soit $f(t) = t$ (fonction impaire) et $g(t) = 1$ (fonction paire). Calculons leur produit scalaire sur l’intervalle symétrique.
$$ \langle f, g \rangle = \int_{-1}^1 t \cdot 1 \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^1 = \frac{1}{2} – \frac{1}{2} = 0 $$Par conséquent, la fonction identité et la fonction constante sont orthogonales dans cet espace hilbertien.
Contre-exemple : Norme $L^1$ et défaut d’orthogonalité
L’orthogonalité nécessite impérativement un produit scalaire associé à une forme quadratique. Considérons $\mathbb{R}^2$ muni de la norme $\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|$.
Pour les vecteurs $u = (1, 0)$ et $v = (0, 1)$, nous observons que $\|u+v\|_1 = 2$ et $\|u\|_1 + \|v\|_1 = 2$. Bien que l’égalité semble vérifier une forme de Pythagore, il n’existe pas de produit scalaire induisant cette norme.
En l’absence de produit scalaire, la notion d’**Orthogonalité euclidienne** perd son sens formel. On ne peut donc pas définir de perpendicularité rigoureuse dans les espaces de Banach non hilbertiens.