L’orthogonalité hermitienne est une généralisation fondamentale de la notion d’orthogonalité euclidienne aux espaces vectoriels sur le corps des complexes. Elle repose sur la structure d’un produit scalaire hermitien, permettant de définir des bases orthonormales et de généraliser les géométries classiques.
Définition formelle du produit scalaire hermitien
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$. Une forme sesquilinéaire hermitienne est une application $\langle \cdot, \cdot \rangle : E \times E \to \mathbb{C}$ vérifiant :
- Linéarité à gauche : $\forall (x,y,z) \in E^3, \forall \lambda \in \mathbb{C},\ \langle \lambda x + y, z \rangle = \lambda \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle$.
- Conjugaison symétrique : $\forall (x,y) \in E^2,\ \langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$.
- Positivité : $\forall x \in E,\ \langle x, x \rangle \geq 0$, avec $\langle x, x \rangle = 0 \iff x = 0$.
Le couple $(E, \langle \cdot, \cdot \rangle)$ est alors un espace préhilbertien complexe. Si $E$ est complet pour la norme $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$, il s’agit d’un espace de Hilbert.
Définition de l’orthogonalité hermitienne
Deux vecteurs $x$ et $y$ de $E$ sont dits hermitien-orthogonaux si leur produit scalaire hermitien est nul :
$$ \langle x, y \rangle = 0. $$
On note $x \perp y$. Pour une partie $A \subset E$, on définit le supplément orthogonal hermitien :
$$ A^\perp = \{ z \in E \mid \forall a \in A,\ \langle z, a \rangle = 0 \}. $$
Théorèmes et propriétés centrales
Théorème de Pythagore hermitien
Si $x$ et $y$ sont hermitien-orthogonaux ($\langle x, y \rangle = 0$), alors :
$$ \|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2. $$
Inégalité de Cauchy-Schwarz hermitienne
Pour tous $x, y \in E$ :
$$ |\langle x, y \rangle| \leq \|x\| \|y\|, $$
avec égalité si et seulement si $x$ et $y$ sont linéairement dépendants.
Théorème de projection orthogonale hermitienne
Soit $F$ un sous-espace vectoriel fermé de $E$ (espace de Hilbert). Tout vecteur $x \in E$ se décompose de façon unique :
$$ x = p_F(x) + x^\perp, \quad \text{avec } p_F(x) \in F \text{ et } x^\perp \in F^\perp. $$
$p_F$ est l’opérateur de projection orthogonale hermitienne sur $F$.
Preuve de l’inégalité de Cauchy-Schwarz
Preuve : Soit $\lambda \in \mathbb{C}$. Considérons la fonction $\varphi(\lambda) = \|x – \lambda y\|^2 \geq 0$. On développe :
\begin{align*}
\varphi(\lambda) &= \langle x – \lambda y, x – \lambda y \rangle \\
&= \langle x, x \rangle – \lambda \langle y, x \rangle – \overline{\lambda} \langle x, y \rangle + |\lambda|^2 \langle y, y \rangle.
\end{align*}
Choisissons $\lambda = \frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}$ (si $y \neq 0$). Alors $\overline{\lambda} = \frac{\langle y, x \rangle}{\langle y, y \rangle}$. Substituons :
\begin{align*}
\varphi\left(\frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}\right) &= \|x\|^2 – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle} – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle} + \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle^2} \langle y, y \rangle \\
&= \|x\|^2 – \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\|y\|^2}.
\end{align*}
Comme $\varphi(\lambda) \geq 0$, on obtient $\|x\|^2 \|y\|^2 \geq |\langle x, y \rangle|^2$, d’où le résultat. Si $y = 0$, l’inégalité est triviale. L’égalité a lieu si et seulement si $x – \lambda y = 0$, donc $x = \lambda y$. $\blacksquare$
Exemples et contre-exemples
Exemple 1 : $\mathbb{C}^n$ standard
Sur $\mathbb{C}^n$, le produit scalaire hermitien usuel est :
$$ \langle x, y \rangle = \sum_{k=1}^n x_k \overline{y_k}. $$
Alors $e_1 = (1,0,\dots,0)$ et $e_2 = (i,0,\dots,0)$ ne sont pas orthogonaux car $\langle e_1, e_2 \rangle = 1 \cdot \overline{i} = -i \neq 0$. Ceci illustre que l’orthogonalité hermitienne diffère de l’orthogonalité réelle sur $\mathbb{R}^{2n}$.
Exemple 2 : Espace des polynomiales $\mathcal{P}_n$
Soit $\mathcal{P}_n$ l’espace des polynômes complexes de degré $\leq n$. On munit $\mathcal{P}_n$ du produit scalaire hermitien :
$$ \langle P, Q \rangle = \int_0^{2\pi} P(e^{i\theta}) \overline{Q(e^{i\theta})} \frac{d\theta}{2\pi}. $$
Alors les fonctions $e^{ik\theta}$ forment une base orthonormée. Le polynôme $P(z) = z$ et $Q(z) = z^2$ sont orthogonaux car leurs coefficients de Fourier respectifs pour les fréquences $1$ et $2$ n’interfèrent pas.
Contre-exemple : Non-commutativité
Contrairement au cas réel, $\langle x, y \rangle = 0$ n’implique pas $\langle y, x \rangle = 0$ ! En effet, par conjugaison, $\langle y, x \rangle = \overline{\langle x, y \rangle} = \overline{0} = 0$. Ce « contre-exemple » illustre que la propriété est en fait vraie grâce à la condition de conjugaison symétrique. Un vrai contre-exemple serait une forme sesquilinéaire non hermitienne, comme $\langle x, y \rangle = x_1 y_2 + x_2 y_1$ sur $\mathbb{C}^2$, qui n’est pas symétrique conjuguée.
Application : Base orthonormée hermitienne
Une famille $(e_1, \dots, e_p)$ est hermitien-orthonormée si :
$$ \langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij} =
\begin{cases}
1 & \text{si } i=j, \\
0 & \text{si } i \neq j.
\end{cases} $$
Théorème : Toute famille orthonormée hermitienne est libre. De plus, dans un espace de Hilbert séparable, il existe une base orthonormée hermitienne (théorème de bases orthonormées).
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