Paramétrisation d’un Arc de Courbe
Pour calculer une intégrale curviligne, on doit transformer l’intégrale le long d’une courbe $\mathcal{C}$ en une intégrale simple sur un intervalle $[a,b]$. Ce processus de « traduction » est la paramétrisation. Elle consiste à décrire la courbe comme la trajectoire d’un point mobile dont la position est donnée par une fonction d’une seule variable (le paramètre), souvent interprétée comme le temps.
1. Définition d’une Courbe Paramétrée
Un arc (ou une courbe) paramétré(e) $\mathcal{C}$ dans $\mathbb{R}^p$ (avec $p=2$ ou $3$) est l’image d’une fonction vectorielle continue $\vec{r}$ d’un intervalle $[a,b]$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}^p$. $$ \vec{r}: [a,b] \to \mathbb{R}^p $$ $$ t \mapsto \vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t)) $$ La variable $t$ est le paramètre. L’intervalle $[a,b]$ est l’intervalle des paramètres.
Une courbe est dite lisse (ou régulière) si la fonction $\vec{r}(t)$ est de classe C¹ et si son vecteur dérivé $\vec{r}\,'(t)$ n’est jamais nul sur l’intervalle.
2. Le Vecteur Tangent et la Longueur d’Arc
La dérivée de la fonction de paramétrisation a une signification géométrique cruciale.
Le vecteur dérivé $\vec{r}\,'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t))$ est le vecteur tangent à la courbe au point $\vec{r}(t)$.
- Sa direction indique le sens de parcours de la courbe (son orientation).
- Sa norme $\|\vec{r}\,'(t)\|$ est la vitesse scalaire du point mobile sur la courbe.
La vitesse scalaire permet de définir l’élément de longueur infinitésimal, qui est la distance parcourue pendant un petit intervalle de temps $dt$. $$ ds = \text{vitesse} \times \text{temps} = \|\vec{r}\,'(t)\| \,dt $$
3. Exemples de Paramétrisations Usuelles
Segment de Droite
Pour paramétrer le segment de droite allant d’un point $A$ à un point $B$, on utilise la formule :
$$ \vec{r}(t) = (1-t)A + tB, \quad t \in [0,1] $$
À $t=0$, on est en $A$. À $t=1$, on est en $B$.
Exemple : Segment de $A=(1,2)$ à $B=(4,0)$.
$$ \vec{r}(t) = (1-t)(1,2) + t(4,0) = (1-t+4t, 2-2t) = (1+3t, 2-2t) $$
Pour $t \in [0,1]$.
Cercle ou Arc de Cercle
Le cercle de centre $(x_0, y_0)$ et de rayon $R$ est paramétré par :
$$ \vec{r}(t) = (x_0 + R\cos t, y_0 + R\sin t), \quad t \in [0, 2\pi] $$
Le parcours se fait dans le sens anti-horaire. Pour un arc, on restreint l’intervalle de $t$.
Exemple : Le demi-cercle supérieur de rayon 3 centré à l’origine.
$$ \vec{r}(t) = (3\cos t, 3\sin t), \quad t \in [0, \pi] $$
Graphe d’une Fonction
Une courbe définie explicitement par $y=f(x)$ pour $x \in [a,b]$ a une paramétrisation naturelle. Il suffit de choisir $x$ comme paramètre.
$$ \vec{r}(x) = (x, f(x)), \quad x \in [a,b] $$
(On peut aussi poser $t=x$ si on préfère utiliser la lettre $t$).
Exemple : La parabole $y=x^2$ de $x=0$ à $x=2$.
$$ \vec{r}(t) = (t, t^2), \quad t \in [0,2] $$
Le vecteur tangent est $\vec{r}\,'(t) = (1, 2t)$.