Paramétrisation d’une Nappe de Surface
Tout comme une courbe est une déformation d’une ligne (un intervalle), une surface peut être vue comme une déformation d’une région plane. La paramétrisation est la fonction mathématique qui décrit cette déformation. Elle associe à chaque point d’un domaine plat de paramètres $(u,v)$ un point unique $(x,y,z)$ sur la surface dans l’espace. C’est l’étape indispensable pour transformer une intégrale de surface en une intégrale double.
1. Définition d’une Surface Paramétrée
Une nappe de surface $S$ est l’image d’une fonction vectorielle continue $\vec{r}$ d’un domaine $D$ du plan $(u,v)$ dans l’espace $\mathbb{R}^3$. $$ \vec{r}: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 $$ $$ (u,v) \mapsto \vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) $$ Les variables $u$ et $v$ sont les paramètres de la surface.
Une surface est dite lisse (ou régulière) si $\vec{r}$ est de classe C¹ et si le vecteur normal $\vec{r}_u \wedge \vec{r}_v$ n’est jamais nul sur le domaine.
2. Vecteurs Tangents et Vecteur Normal
Les dérivées partielles de la paramétrisation définissent le plan tangent à la surface.
- Vecteurs tangents : Les vecteurs $\vec{r}_u = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u}$ et $\vec{r}_v = \frac{\partial \vec{r}}{\partial v}$ sont deux vecteurs non colinéaires qui sont tangents à la surface et dirigent le plan tangent.
- Vecteur normal : Le produit vectoriel $\vec{N} = \vec{r}_u \wedge \vec{r}_v$ est un vecteur normal (perpendiculaire) à la surface. Son sens définit l’orientation de la surface.
3. Exemples de Paramétrisations Usuelles
Graphe d’une Fonction $z=f(x,y)$
C’est le cas le plus simple. On peut utiliser les coordonnées $x$ et $y$ elles-mêmes comme paramètres.
$$ \vec{r}(x,y) = (x, y, f(x,y)) $$
Les vecteurs tangents sont $\vec{r}_x = (1, 0, \frac{\partial f}{\partial x})$ et $\vec{r}_y = (0, 1, \frac{\partial f}{\partial y})$.
Le vecteur normal est $\vec{r}_x \wedge \vec{r}_y = (-\frac{\partial f}{\partial x}, -\frac{\partial f}{\partial y}, 1)$.
Cylindre
Pour un cylindre de rayon $R$ et d’axe $z$, on utilise une version des coordonnées cylindriques. Les paramètres sont l’angle $\theta$ et la hauteur $z$. $$ \vec{r}(\theta,z) = (R\cos\theta, R\sin\theta, z) $$ Pour un cylindre complet de hauteur $H$, le domaine des paramètres est $[0, 2\pi] \times [0, H]$.
Sphère
Pour une sphère de rayon $R$ centrée à l’origine, on utilise les coordonnées sphériques. Les paramètres sont les angles $\phi$ (colatitude) et $\theta$ (longitude).
$$ \vec{r}(\phi, \theta) = (R\sin\phi\cos\theta, R\sin\phi\sin\theta, R\cos\phi) $$
Pour la sphère entière, le domaine des paramètres est $[0, \pi] \times [0, 2\pi]$.
Le vecteur normal est $\vec{r}_\phi \wedge \vec{r}_\theta = R^2\sin^2\phi \vec{r}(\phi,\theta)/R$, ce qui montre que le vecteur normal est radial, comme attendu.
Cône
Pour un cône de sommet à l’origine, d’axe $z$ et d’angle au sommet $\alpha$, on peut utiliser le rayon $r$ dans le plan $xy$ et l’angle $\theta$ comme paramètres.
L’équation du cône est $z = \cot(\alpha) \sqrt{x^2+y^2} = k r$.
$$ \vec{r}(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta, kr) $$