Paramétrisation Locale des Courbes et Surfaces
Le théorème des fonctions implicites nous dit qu’une courbe « lisse » peut être vue localement comme le graphe d’une fonction. Cela nous permet de passer d’une description implicite ($g(x,y)=k$) à une description paramétrique locale, qui est souvent plus pratique pour le calcul.
Soit une courbe $g(x,y)=k$ et un point $(a,b)$ où $\frac{\partial g}{\partial y}(a,b) \neq 0$.
- Le théorème des fonctions implicites garantit l’existence locale d’une fonction $\phi$ telle que la courbe soit le graphe d’équation $y = \phi(x)$.
- On peut alors utiliser $x$ comme paramètre. Cela donne une paramétrisation locale de la courbe : $$\gamma(x) = (x, \phi(x))$$
- Le vecteur tangent à la courbe est alors donné par le vecteur dérivé de la paramétrisation : $$\gamma'(x) = (1, \phi'(x))$$
En utilisant la formule de la dérivée implicite, $\phi'(x) = -(\partial g / \partial x) / (\partial g / \partial y)$, le vecteur tangent devient : $$\gamma'(x) = \left(1, -\frac{\partial g / \partial x}{\partial g / \partial y}\right)$$ Ce vecteur est colinéaire au vecteur $\left(\frac{\partial g}{\partial y}, -\frac{\partial g}{\partial x}\right)$. On peut vérifier que ce dernier est bien orthogonal au gradient $\nabla g = \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)$, ce qui confirme la cohérence géométrique.
Cette idée se généralise aux surfaces. Une surface définie par $g(x,y,z)=k$ peut être localement paramétrée par $\Sigma(u,v) = (u, v, \phi(u,v))$, ce qui permet de définir son plan tangent et de calculer des intégrales de surface.