Partie compacte dans un espace séparé

Partie Compacte dans un Espace Séparé

Partie Compacte dans un Espace Séparé

La combinaison des notions de compacité et de séparation (Hausdorff) donne lieu à des propriétés très fortes. L’une des plus importantes est que la compacité, dans un espace « bien séparé », implique la fermeture. Cela renforce l’analogie avec les parties « fermées et bornées » de $\mathbb{R}^n$.

Théorème : Compact $\implies$ Fermé

Dans un espace topologique séparé (de Hausdorff), toute partie compacte est fermée.

Démonstration

Soit $X$ un espace séparé et $K$ une partie compacte de $X$. Pour montrer que $K$ est fermée, nous allons montrer que son complémentaire, $K^c = X \setminus K$, est ouvert.

Soit $x$ un point quelconque dans $K^c$. Notre but est de trouver un voisinage ouvert de $x$ qui soit entièrement contenu dans $K^c$.

  1. Séparation des points : Pour chaque point $y \in K$, on a $x \neq y$. Puisque $X$ est séparé, il existe deux voisinages ouverts disjoints :
    • Un voisinage ouvert $U_y$ de $x$.
    • Un voisinage ouvert $V_y$ de $y$.
    • Tels que $U_y \cap V_y = \emptyset$.
  2. Recouvrement de K : La famille $(V_y)_{y \in K}$ est un recouvrement ouvert du compact $K$ (chaque $y$ de $K$ est bien dans son propre voisinage $V_y$).
  3. Extraction d’un sous-recouvrement fini : Puisque $K$ est compact, on peut extraire de ce recouvrement un sous-recouvrement fini. Il existe donc un nombre fini de points $y_1, y_2, \dots, y_n$ dans $K$ tels que : $$ K \subseteq V_{y_1} \cup V_{y_2} \cup \dots \cup V_{y_n} $$ Posons $V = \bigcup_{i=1}^{n} V_{y_i}$. Alors $K \subseteq V$, et $V$ est un ouvert (comme union finie d’ouverts).
  4. Construction du voisinage de x : À chacun de ces $V_{y_i}$ correspond un voisinage $U_{y_i}$ de $x$. Posons $U = \bigcap_{i=1}^{n} U_{y_i}$. En tant qu’intersection finie d’ouverts, $U$ est un voisinage ouvert de $x$.
  5. Vérification de la disjonction : Par construction, pour chaque $i$, on a $U_{y_i} \cap V_{y_i} = \emptyset$. Comme $U \subseteq U_{y_i}$ pour tout $i$, on a $U \cap V_{y_i} = \emptyset$ pour tout $i$. Par conséquent : $$ U \cap V = U \cap \left(\bigcup_{i=1}^{n} V_{y_i}\right) = \bigcup_{i=1}^{n} (U \cap V_{y_i}) = \bigcup_{i=1}^{n} \emptyset = \emptyset $$

Conclusion : Nous avons trouvé un voisinage ouvert $U$ de $x$ qui est disjoint de $V$. Comme $K \subseteq V$, $U$ est aussi disjoint de $K$. Cela signifie que $U \subseteq K^c$.
Nous avons donc montré que tout point $x$ de $K^c$ possède un voisinage ouvert inclus dans $K^c$, ce qui prouve que $K^c$ est ouvert. $K$ est donc bien fermé.

Remarque Importante

La réciproque est fausse. Un fermé dans un espace séparé n’est pas nécessairement compact. Par exemple, $\mathbb{R}$ est un fermé dans lui-même (et $\mathbb{R}$ est séparé), mais $\mathbb{R}$ n’est pas compact.