Définition des Parties Compactes
La notion de compacité est une généralisation de la propriété fondamentale des segments $[a, b]$ de $\mathbb{R}$. Intuitivement, un ensemble compact est un ensemble qui ne « fuit » ni à l’infini (il est borné) ni sur ses bords (il est fermé). Cette propriété a des conséquences très profondes en analyse, notamment pour garantir l’existence de maxima et minima pour les fonctions continues.
1. Définition Topologique (Borel-Lebesgue)
La définition la plus générale de la compacité, valable dans n’importe quel espace topologique, repose sur la notion de recouvrement par des ouverts.
Soit $K$ un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$. Un recouvrement ouvert de $K$ est une famille $(U_i)_{i \in I}$ d’ensembles ouverts de $\mathbb{R}^n$ telle que leur union contienne $K$. $$ K \subset \bigcup_{i \in I} U_i $$
L’idée est de « couvrir » entièrement l’ensemble $K$ avec des « taches » ouvertes. La compacité signifie qu’on peut toujours se contenter d’un nombre fini de ces taches.
Un sous-ensemble $K \subset \mathbb{R}^n$ est dit compact si de tout recouvrement ouvert de $K$, on peut extraire un sous-recouvrement fini.
Autrement dit, pour toute famille $(U_i)_{i \in I}$ d’ouverts telle que $K \subset \bigcup_{i \in I} U_i$, il existe un sous-ensemble fini d’indices $J \subset I$ tel que l’on ait encore : $$ K \subset \bigcup_{j \in J} U_j $$
2. Caractérisation dans $\mathbb{R}^n$ (Théorème de Borel-Lebesgue)
Dans le cas particulier mais très important de $\mathbb{R}^n$, la définition abstraite ci-dessus est équivalente à une condition beaucoup plus simple et vérifiable.
Une partie de $\mathbb{R}^n$ est compacte si et seulement si elle est fermée et bornée.
Un sous-ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est dit borné s’il est contenu dans une boule (ouverte ou fermée) de rayon fini. $$ \exists R > 0, \quad A \subset B(0, R) $$ Cela revient à dire que la norme de ses éléments est majorée : $\exists M \in \mathbb{R}, \forall x \in A, \|x\| \le M$.
Ce théorème est fondamental : pour vérifier si un ensemble de $\mathbb{R}^n$ est compact, il suffit de vérifier deux propriétés géométriques simples (être fermé et borné) au lieu de manipuler des recouvrements d’ouverts.
3. Propriétés Majeures des Compacts
La compacité est une propriété topologique très forte qui se conserve par certaines opérations.
- L’image d’un compact par une application continue est un compact.
Si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ est une application continue et $K \subset \mathbb{R}^n$ est compact, alors $f(K) \subset \mathbb{R}^m$ est aussi compact. - Théorème des bornes atteintes (cas particulier fondamental) :
Si $K \subset \mathbb{R}^n$ est un compact non vide et $f: K \to \mathbb{R}$ est une fonction continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes. C’est-à-dire qu’il existe $a, b \in K$ tels que : $$ \forall x \in K, \quad f(a) \le f(x) \le f(b) $$ On note $f(a) = \min_{x \in K} f(x)$ et $f(b) = \max_{x \in K} f(x)$.
Exemples et Contre-exemples
- Sont compacts :
- Tout segment $[a, b]$ dans $\mathbb{R}$. (Fermé et borné)
- Toute boule fermée $B_f(a, r)$ dans $\mathbb{R}^n$. (Fermée et bornée)
- Toute sphère $S(a,r) = \{x \in \mathbb{R}^n \mid \|x-a\|=r \}$. (Fermée et bornée)
- Un rectangle fermé $[a, b] \times [c, d]$ dans $\mathbb{R}^2$.
- Tout ensemble fini de points.
- Ne sont pas compacts :
- $\mathbb{R}^n$ (n’est pas borné).
- Une boule ouverte $B(a, r)$ (n’est pas fermée).
- Un intervalle de type $[a, +\infty[$ (n’est pas borné).
- Un intervalle de type $]a, b]$ (n’est pas fermé).
- Une droite ou un hyperplan (n’est pas borné).