Définition des Parties Connexes
La notion de connexité formalise l’idée intuitive d’un ensemble qui est « d’un seul morceau ». Contrairement à la compacité, la connexité ne dépend pas de la notion de distance ou de bornitude, c’est une propriété purement topologique. La manière la plus simple de la définir est de dire ce qu’est un ensemble non-connexe.
1. Définition d’une Partie Non-Connexe
Un sous-ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est dit non-connexe s’il existe deux ensembles ouverts $U$ et $V$ de $\mathbb{R}^n$ qui « séparent » $A$. C’est-à-dire :
- $A \cap U \neq \emptyset$ et $A \cap V \neq \emptyset$ (chaque ouvert contient une partie de $A$).
- $(A \cap U) \cap (A \cap V) = \emptyset$ (les deux parties de $A$ sont disjointes).
- $A = (A \cap U) \cup (A \cap V)$ (les deux parties recouvrent entièrement $A$).
Autrement dit, $A$ est la réunion disjointe de deux de ses sous-ensembles non vides, qui sont ouverts pour la topologie induite sur $A$.
2. Définition d’une Partie Connexe
Un ensemble est connexe s’il est impossible de le séparer de la manière décrite ci-dessus.
Un sous-ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est dit connexe s’il n’est pas non-connexe.
De manière équivalente, $A$ est connexe si les seuls sous-ensembles de $A$ qui sont à la fois ouverts et fermés pour la topologie induite sur $A$ sont l’ensemble vide ($\emptyset$) et $A$ tout entier.
Exemples et Contre-exemples
- L’ensemble $A = [0, 1] \cup [2, 3]$ est non-connexe. On peut prendre $U = ]-1, 1.5[$ et $V = ]1.5, 4[$.
- L’ensemble des nombres rationnels $\mathbb{Q}$ est non-connexe.
- Les parties connexes de $\mathbb{R}$ sont exactement les intervalles.
3. Connexité par Arcs
Il existe une notion plus forte et plus intuitive de la connexité : la connexité par arcs. Elle signifie qu’on peut relier n’importe quels deux points de l’ensemble par un chemin continu sans jamais sortir de l’ensemble.
Un sous-ensemble $A \subset \mathbb{R}^n$ est dit connexe par arcs si pour toute paire de points $(a, b)$ dans $A$, il existe une application continue (un chemin) $\gamma : [0, 1] \to A$ telle que $\gamma(0) = a$ et $\gamma(1) = b$.
- Toute partie connexe par arcs est connexe.
- La réciproque est fausse en général. L’exemple classique est la courbe sinus du topologue, qui est connexe mais pas connexe par arcs. [Image de la courbe sinus du topologue]
- Théorème fondamental pour les ouverts : Un ensemble ouvert de $\mathbb{R}^n$ est connexe si et seulement s’il est connexe par arcs. C’est un résultat très utile en pratique.
4. Propriétés des Parties Connexes
- L’image d’un connexe par une application continue est un connexe.
Si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ est une application continue et $A \subset \mathbb{R}^n$ est connexe, alors $f(A) \subset \mathbb{R}^m$ est aussi connexe. - Théorème des valeurs intermédiaires (généralisé) :
C’est une conséquence directe. Si $A$ est un connexe et $f: A \to \mathbb{R}$ est continue, alors $f(A)$ est un connexe de $\mathbb{R}$, donc c’est un intervalle. Cela signifie que pour tous $a, b \in A$, $f$ prend toutes les valeurs entre $f(a)$ et $f(b)$. - L’adhérence d’une partie connexe est connexe.
- Une réunion de parties connexes ayant une intersection non vide est connexe.
Exemples de Parties Connexes dans $\mathbb{R}^n$
- Toute partie convexe (comme une boule, un pavé, un sous-espace vectoriel) est connexe par arcs, donc connexe.
- Une sphère $S(a,r)$ est connexe par arcs (pour $n \ge 2$).
- $\mathbb{R}^n$ est connexe.
- $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ est connexe pour $n \ge 2$. En revanche, $\mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ n’est pas connexe.