Parties Finies dans un Espace Séparé
La propriété de séparation de Hausdorff a des conséquences directes sur la nature topologique des ensembles finis. Alors que dans un espace topologique quelconque, un ensemble fini peut être ouvert, fermé, ou ni l’un ni l’autre, la situation est beaucoup plus simple dans un espace séparé.
Dans un espace topologique séparé (de Hausdorff), toute partie finie est un ensemble fermé.
Démonstration
La démonstration se fait en deux étapes. On montre d’abord que les singletons (ensembles à un seul élément) sont fermés, puis on généralise à toute partie finie.
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Étape 1 : Tout singleton $\{x\}$ est fermé.
Pour montrer que $\{x\}$ est fermé, il suffit de prouver que son complémentaire, $X \setminus \{x\}$, est ouvert.- Soit $y \in X \setminus \{x\}$, c’est-à-dire $y \neq x$.
- Puisque $X$ est séparé, il existe un voisinage ouvert $U_y$ de $y$ et un voisinage ouvert $V_x$ de $x$ tels que $U_y \cap V_x = \emptyset$.
- En particulier, $x \notin U_y$, ce qui signifie que $U_y \subseteq X \setminus \{x\}$.
- Nous avons donc montré que pour tout point $y$ du complémentaire de $\{x\}$, il existe un voisinage ouvert de $y$ entièrement inclus dans ce complémentaire. C’est la définition même d’un ensemble ouvert.
- Donc, $X \setminus \{x\}$ est ouvert, et par conséquent, $\{x\}$ est fermé.
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Étape 2 : Généralisation à une partie finie.
Soit $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ une partie finie de $X$. On peut écrire $A$ comme une union de singletons : $$ A = \bigcup_{i=1}^{n} \{a_i\} $$ D’après l’étape 1, chaque singleton $\{a_i\}$ est un ensemble fermé. Or, une union finie d’ensembles fermés est toujours un ensemble fermé.
Par conséquent, $A$ est un ensemble fermé.
Contre-exemple
Considérons $X = \{a, b\}$ avec la topologie grossière $\mathcal{T} = \{\emptyset, X\}$. Cet espace n’est pas séparé.
La partie $A = \{a\}$ est une partie finie de $X$. Cependant, son complémentaire $A^c = \{b\}$ n’est pas un ouvert de $\mathcal{T}$. Donc, $A = \{a\}$ n’est pas un ensemble fermé. Cela illustre bien que la propriété n’est pas vraie si l’espace n’est pas de Hausdorff.