Parties Stables d’une Structure
En algèbre, la notion de partie stable est fondamentale. Elle permet de restreindre une loi de composition à un sous-ensemble plus petit, tout en conservant une structure cohérente. C’est le concept qui sous-tend la définition de sous-structures, comme les sous-groupes ou les sous-anneaux.
Soit $(E, \star)$ un magma. Une partie non vide $S \subseteq E$ est dite stable pour la loi $\star$ si le composé de deux éléments quelconques de $S$ est encore un élément de $S$. $$ \forall (x, y) \in S \times S, \quad x \star y \in S $$
Loi Induite
Lorsqu’une partie $S$ est stable pour la loi $\star$, on peut « restreindre » la loi $\star$ à l’ensemble $S$. Cette restriction est elle-même une loi de composition interne sur $S$, appelée la loi induite.
Le couple $(S, \star)$ forme alors une nouvelle structure algébrique, qui « hérite » des propriétés de la structure de départ. Par exemple, si la loi $\star$ est associative sur $E$, elle le sera aussi sur $S$.
Exemples et Contre-exemples
- L’ensemble des entiers naturels $\mathbb{N}$ est une partie stable de $(\mathbb{Z}, +)$. En effet, la somme de deux entiers naturels est toujours un entier naturel. $(\mathbb{N}, +)$ est donc une structure à part entière.
- L’ensemble des entiers pairs $2\mathbb{Z}$ est une partie stable de $(\mathbb{Z}, +)$. La somme de deux entiers pairs est toujours un entier pair.
- L’ensemble des entiers impairs n’est PAS stable pour l’addition. Par exemple, $3$ et $5$ sont impairs, mais leur somme $3+5=8$ est paire.
- L’intervalle $[-1, 1]$ est une partie stable de $(\mathbb{R}, \times)$. Le produit de deux nombres compris entre -1 et 1 est encore un nombre compris entre -1 et 1.
- L’ensemble des matrices inversibles $GL_n(\mathbb{R})$ est une partie stable de $(\mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \times)$. Le produit de deux matrices inversibles est encore une matrice inversible.