Point Fixe pour Applications Non-Expansives
Nous avons vu que le théorème de Banach est très puissant pour les applications contractantes ($k < 1$). Une question naturelle est : que se passe-t-il dans le cas limite où $k=1$ ? Ces applications, dites non-expansives, ne garantissent plus l'existence ou l'unicité d'un point fixe en général, mais des résultats d'existence peuvent être obtenus en ajoutant des hypothèses fortes sur l'espace.
Soit $(X, d)$ un espace métrique. Une application $f: X \to X$ est dite non-expansive (ou 1-lipschitzienne) si : $$ \forall (x, y) \in X^2, \quad d(f(x), f(y)) \le d(x, y) $$ Autrement dit, une application non-expansive ne peut pas écarter les points. Elle peut soit les rapprocher, soit conserver leur distance.
Pourquoi le Théorème de Banach ne s’applique plus ?
La démonstration du théorème de Banach repose sur le fait que la suite des itérés $(x_n)$ est de Cauchy. Pour une application non-expansive, cette propriété n’est plus garantie. La suite des distances $d(x_{n+1}, x_n)$ est décroissante, mais elle ne tend pas nécessairement vers 0 assez vite pour forcer la convergence.
Contre-Exemple Simple
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ définie par $f(x) = x + 1$. C’est une isométrie, donc une application non-expansive. Elle n’admet aucun point fixe.
Malgré tout, on peut garantir l’existence d’un point fixe en ajoutant des conditions géométriques sur l’ensemble de départ. Un des résultats fondamentaux est le suivant :
Soit $C$ une partie non vide, fermée, bornée et convexe d’un espace de Hilbert (ou plus généralement d’un espace de Banach uniformément convexe).
Toute application non-expansive $f: C \to C$ admet au moins un point fixe.
Points Clés de ce Résultat
- Pas d’unicité : Contrairement au cas contractant, le point fixe n’est pas nécessairement unique. Une projection sur un ensemble convexe est 1-lipschitzienne et peut avoir une infinité de points fixes (tous les points de l’ensemble).
- Hypothèses géométriques : L’existence du point fixe dépend crucialement des propriétés de l’ensemble $C$ (fermé, borné, convexe) et de l’espace ambiant.
- Non-constructif : La preuve est non constructive et ne fournit pas d’algorithme simple comme la suite des itérés pour trouver le point fixe.