Définition des Points Critiques
Le théorème de Fermat nous dit que les extrémums locaux d’une fonction différentiable ne peuvent se trouver qu’en des points où le gradient est nul. Ces points particuliers sont les « candidats » à l’optimisation et portent le nom de points critiques ou points stationnaires. La première étape de toute étude d’extrémums est de localiser ces points.
1. Définition Formelle
Soit $f: U \subset \mathbb{R}^p \to \mathbb{R}$ une fonction définie sur un ouvert $U$.
Un point $a \in U$ est un point critique de $f$ si l’une des deux conditions suivantes est remplie :
- La fonction $f$ n’est pas différentiable en $a$.
- La fonction $f$ est différentiable en $a$ et sa différentielle est nulle, ce qui équivaut à dire que son gradient est le vecteur nul : $$ \nabla f(a) = \vec{0} $$
Pour la majorité des fonctions usuelles qui sont de classe C¹, la recherche de points critiques se résume à la seconde condition.
2. Méthode de Recherche des Points Critiques
Pour trouver les points critiques d’une fonction différentiable $f(x_1, \dots, x_p)$, il faut résoudre le système de $p$ équations à $p$ inconnues :
$$ \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_1}(x_1, \dots, x_p) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x_2}(x_1, \dots, x_p) = 0 \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_p}(x_1, \dots, x_p) = 0 \end{cases} $$Les solutions de ce système sont les coordonnées des points critiques. La difficulté de la résolution dépend de la complexité des équations.
Exemple de Recherche
Trouver les points critiques de la fonction $f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy$.
- Calculer le gradient : $$ \nabla f(x,y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (3x^2 – 3y, \quad 3y^2 – 3x) $$
- Poser le système d’équations $\nabla f(x,y) = (0,0)$ : $$ \begin{cases} 3x^2 – 3y = 0 & (1) \\ 3y^2 – 3x = 0 & (2) \end{cases} \iff \begin{cases} y = x^2 & (1′) \\ x = y^2 & (2′) \end{cases} $$
- Résoudre le système :
On substitue l’équation (1′) dans l’équation (2′) : $$ x = (x^2)^2 \implies x = x^4 $$ $$ x^4 – x = 0 \implies x(x^3 – 1) = 0 $$ Cette équation a deux solutions pour $x$ :- $x = 0$. En reportant dans (1′), on trouve $y = 0^2 = 0$. On a donc un premier point critique : (0,0).
- $x^3 – 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1$. En reportant dans (1′), on trouve $y = 1^2 = 1$. On a donc un second point critique : (1,1).
La fonction $f(x,y) = x^3 + y^3 – 3xy$ admet donc exactement deux points critiques : $(0,0)$ et $(1,1)$.
3. Nature des Points Critiques
Une fois les points critiques trouvés, l’étape suivante de l’analyse consiste à déterminer leur nature. Un point critique peut être :
- Un minimum local.
- Un maximum local.
- Un point selle.
Cette classification ne peut pas se faire avec les dérivées premières. Elle nécessite l’étude des dérivées secondes, c’est-à-dire l’analyse de la matrice Hessienne en chacun des points critiques trouvés.
[Image d’une surface avec un minimum, un maximum et un point selle]