Premier Théorème d’Isomorphisme

Le premier théorème d’isomorphisme (parfois appelé théorème de factorisation) est un résultat absolument fondamental en théorie des groupes. Il établit un lien direct et naturel entre l’image d’un morphisme et le quotient du groupe de départ par son noyau. Il montre que l’image d’un groupe est, à isomorphisme près, le groupe de départ « simplifié » en identifiant tous les éléments du noyau.

Soit $f: G \to H$ un morphisme de groupes.
Alors, il existe un isomorphisme unique $\tilde{f}$ du groupe quotient $G/\ker(f)$ dans l’image $\text{Im}(f)$ tel que $f = \tilde{f} \circ \pi$, où $\pi: G \to G/\ker(f)$ est la surjection canonique.

On résume souvent ce résultat par la formule d’isomorphisme : $$G/\ker(f) \simeq \text{Im}(f)$$

Interprétation

Ce théorème nous dit que l’image d’un morphisme a la même structure que le groupe de départ, à condition de considérer tous les éléments du noyau comme étant « nuls » (identifiés à l’élément neutre). Le noyau mesure précisément « ce que l’on perd » en appliquant le morphisme.

Application au calcul d’ordres

Pour les groupes finis, ce théorème a une conséquence arithmétique très utile : $$|G/\ker(f)| = \frac{|G|}{|\ker(f)|} = |\text{Im}(f)|$$ Cette formule relie l’ordre du groupe de départ, de son noyau et de son image.

Exemples

Morphisme signature : Soit $\varepsilon: \mathcal{S}_n \to \{-1, 1\}$ pour $n \ge 2$.
- Le noyau est le groupe alterné $\mathcal{A}_n$.
- L’image est le groupe $\{-1, 1\}$, qui est d’ordre 2.
- Le théorème nous dit : $\mathcal{S}_n / \mathcal{A}_n \simeq \{-1, 1\}$.
- En termes d’ordres : $|\mathcal{S}_n| / |\mathcal{A}_n| = n! / |\mathcal{A}_n| = 2$, ce qui nous donne $|\mathcal{A}_n| = n!/2$.
Morphisme déterminant : Soit $\det: GL_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}^*$.
- Le noyau est le groupe spécial linéaire $SL_n(\mathbb{R})$.
- L’image est $\mathbb{R}^*$.
- Le théorème nous dit : $GL_n(\mathbb{R}) / SL_n(\mathbb{R}) \simeq \mathbb{R}^*$.