La première forme fondamentale est l’outil mathématique central pour mesurer les distances et angles sur une surface. Elle provient du produit scalaire tangent et définit la métrique intrinsèque.
Première forme fondamentale
Définition formelle et construction
Considérons une surface $S$ plongée dans $\mathbb{R}^3$. Soit $\mathbf{r} : U \subset \mathbb{R}^2 \to S$ un paramétrage régulier. Les vecteurs tangents sont :
$$
\mathbf{r}_u = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u}, \quad \mathbf{r}_v = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial v}.
$$
Le plan tangent en un point est engendré par $\mathbf{r}_u$ et $\mathbf{r}_v$. La première forme fondamentale est la restriction du produit scalaire euclidien $\langle \cdot, \cdot \rangle$ de $\mathbb{R}^3$ au plan tangent.
Définition rigoureuse
Pour tout vecteur tangent $\mathbf{w} = a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v$, la première forme fondamentale $I$ est définie par :
$$
I(\mathbf{w}) = \langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle.
$$
En coordonnées $(u,v)$, elle s’écrit comme une forme quadratique :
$$
I = E \, du^2 + 2F \, du\,dv + G \, dv^2,
$$
où les coefficients sont :
$$
E = \langle \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_u \rangle, \quad F = \langle \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v \rangle, \quad G = \langle \mathbf{r}_v, \mathbf{r}_v \rangle.
$$
Théorème : Expression en base tangente
Soient $\mathbf{w}_1 = a_1 \mathbf{r}_u + b_1 \mathbf{r}_v$ et $\mathbf{w}_2 = a_2 \mathbf{r}_u + b_2 \mathbf{r}_v$ deux vecteurs tangents. Alors :
$$
I(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2) = \langle \mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \rangle = E a_1 a_2 + F (a_1 b_2 + a_2 b_1) + G b_1 b_2.
$$
En particulier, $I(\mathbf{w}) = \langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle$ donne la norme carrée.
Preuve de l’expression quadratique
Preuve : Développons $\mathbf{w} = a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v$.
\begin{align*}
\langle \mathbf{w}, \mathbf{w} \rangle &= \langle a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v,\ a \mathbf{r}_u + b \mathbf{r}_v \rangle \\
&= a^2 \langle \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_u \rangle + 2ab \langle \mathbf{r}_u, \mathbf{r}_v \rangle + b^2 \langle \mathbf{r}_v, \mathbf{r}_v \rangle \\
&= E a^2 + 2F ab + G b^2.
\end{align*}
Ce qui correspond à $I = E\,du^2 + 2F\,du\,dv + G\,dv^2$ en identifiant $du=a$, $dv=b$. $ \blacksquare $
Propriétés fondamentales
La matrice de la forme est symétrique définie positive.
- Positivité : $I(\mathbf{w}) > 0$ pour tout $\mathbf{w} \neq 0$. Cela implique $E > 0$, $G > 0$ et $EG – F^2 > 0$.
- Invariance : Sous un changement de paramétrage $(u,v) \mapsto (\tilde{u},\tilde{v})$, les coefficients $\tilde{E},\tilde{F},\tilde{G}$ se transforment de façon covariante. La forme $I$ comme objet géométrique est indépendante du paramétrage.
- Déterminant : $\det(g) = EG – F^2$ est le carré de l’aire du parallélogramme engendré par $\mathbf{r}_u$ et $\mathbf{r}_v$. Il est strictement positif.
Théorème d’invariance par changement de repère
Soit $\Phi : (u,v) \mapsto (\tilde{u}(u,v), \tilde{v}(u,v))$ un changement de paramétrage régulier. Alors :
$$
\begin{pmatrix} \tilde{E} & \tilde{F} \\ \tilde{F} & \tilde{G} \end{pmatrix} = J^T \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} J,
$$
où $J$ est la matrice jacobienne de $\Phi$ : $J = \begin{pmatrix} u_{\tilde{u}} & u_{\tilde{v}} \\ v_{\tilde{u}} & v_{\tilde{v}} \end{pmatrix}$. Cela garantit que la forme est bien intrinsèque.
Preuve de l’invariance
Preuve : Par définition, $\tilde{\mathbf{r}}_{\tilde{u}} = \mathbf{r}_u u_{\tilde{u}} + \mathbf{r}_v v_{\tilde{u}}$ et de même pour $\tilde{\mathbf{r}}_{\tilde{v}}$. Calculons $\tilde{E}$ :
\begin{align*}
\tilde{E} &= \langle \tilde{\mathbf{r}}_{\tilde{u}}, \tilde{\mathbf{r}}_{\tilde{u}} \rangle \\
&= \langle \mathbf{r}_u u_{\tilde{u}} + \mathbf{r}_v v_{\tilde{u}},\ \mathbf{r}_u u_{\tilde{u}} + \mathbf{r}_v v_{\tilde{u}} \rangle \\
&= E u_{\tilde{u}}^2 + 2F u_{\tilde{u}} v_{\tilde{u}} + G v_{\tilde{u}}^2.
\end{align*}
On reconnaît la première ligne de $\tilde{g} = J^T g J$. Les autres coefficients se calculent de même. $ \blacksquare $
Exemple : Plan euclidien
Pour le plan $z=0$ paramétré par $\mathbf{r}(u,v) = (u, v, 0)$. Alors :
$$
\mathbf{r}_u = (1,0,0), \quad \mathbf{r}_v = (0,1,0).
$$
On obtient : $E=1$, $F=0$, $G=1$. Ainsi :
$$
I = du^2 + dv^2.
$$
C’est la métrique euclidienne standard. La longueur d’une courbe $\gamma(t)=(u(t),v(t))$ est $\int \sqrt{u’^2+v’^2}\,dt$.
Exemple : Sphère de rayon $R$
Paramétrage classique en latitudes $(\theta,\phi)$ :
$$
\mathbf{r}(\theta,\phi) = (R\sin\theta\cos\phi,\ R\sin\theta\sin\phi,\ R\cos\theta).
$$
Calculs :
\begin{align*}
\mathbf{r}_\theta &= (R\cos\theta\cos\phi,\ R\cos\theta\sin\phi,\ -R\sin\theta), \\
\mathbf{r}_\phi &= (-R\sin\theta\sin\phi,\ R\sin\theta\cos\phi,\ 0).
\end{align*}
On trouve :
\begin{align*}
E &= R^2, \quad F = 0, \quad G = R^2 \sin^2\theta.
\end{align*}
Ainsi :
$$
I = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\phi^2).
$$
Application : Mesure des longueurs
Soit $\gamma : [a,b] \to S$ une courbe tracée sur $S$, de paramétrage $\gamma(t) = \mathbf{r}(u(t), v(t))$. La longueur de $\gamma$ est :
$$
L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ I(\mathbf{r}_u u’ + \mathbf{r}_v v’,\ \mathbf{r}_u u’ + \mathbf{r}_v v’) }\, dt.
$$
En utilisant l’expression de $I$, on obtient :
$$
L(\gamma) = \int_a^b \sqrt{ E u’^2 + 2F u’ v’ + G v’^2 }\, dt.
$$
Application : Angle entre deux courbes
Soient deux courbes $\gamma_1, \gamma_2$ sur $S$, tangentes en un point aux vecteurs $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2$. L’angle $\alpha$ entre elles est donné par :
$$
\cos\alpha = \frac{ I(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2) }{ \sqrt{ I(\mathbf{w}_1) } \sqrt{ I(\mathbf{w}_2) } }.
$$
Cela montre que l’angle est une quantité intrinsèque, mesurable par un observateur sur la surface.
Application : Aire d’une région
Pour une région $D$ dans le domaine de paramétrage, l’aire de son image $\mathbf{r}(D)$ sur la surface est :
$$
\text{Aire} = \iint_D \sqrt{ \det(g) }\, du\,dv = \iint_D \sqrt{ EG – F^2 }\, du\,dv.
$$
Cela découle du jacobien : l’aire élémentaire est $\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|\,du\,dv$, et $\|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v\|^2 = \|\mathbf{r}_u\|^2\|\mathbf{r}_v\|^2 – \langle\mathbf{r}_u,\mathbf{r}_v\rangle^2 = EG-F^2$.
Synthèse et perspectives
La première forme fondamentale est donc l’équivalent surfacique du tensor métrique. Elle permet de faire de la géométrie sans quitter la surface. Elle est essentielle pour définir le tenseur de Weingarten et la courbure.
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