Premières Propriétés d’un Groupe
Les trois axiomes qui définissent un groupe (associativité, élément neutre, symétrique) sont suffisants pour déduire un certain nombre de propriétés fondamentales, valables dans n’importe quel groupe. Ces propriétés sont constamment utilisées dans les démonstrations et les calculs.
Dans un groupe $(G, \star)$ :
- L’élément neutre $e$ est unique.
- Pour tout élément $x \in G$, son symétrique $x’$ est unique.
(L’unicité du symétrique repose sur l’associativité de la loi).
Tout élément d’un groupe est régulier, c’est-à-dire qu’on peut « simplifier » par cet élément dans une équation. Pour tous $a, x, y \in G$ :
- Simplification à gauche : Si $a \star x = a \star y$, alors $x = y$.
- Simplification à droite : Si $x \star a = y \star a$, alors $x = y$.
Ceci est une conséquence directe de l’existence du symétrique de $a$. Pour simplifier à gauche, il suffit de composer les deux membres de l’équation par $a’$ à gauche.
Pour tous les éléments $x, y$ d’un groupe $(G, \star)$, le symétrique du composé $x \star y$ est le composé des symétriques dans l’ordre inverse : $$ (x \star y)’ = y’ \star x’ $$
Cette inversion de l’ordre est fondamentale, surtout dans les groupes non commutatifs. On peut s’en souvenir avec l’analogie : « Pour défaire l’action de mettre ses chaussettes puis ses chaussures, il faut d’abord enlever ses chaussures, puis ses chaussettes ».
Pour tous $a, b \in G$, les équations d’inconnue $x \in G$ :
- $a \star x = b$ admet une unique solution : $x = a’ \star b$.
- $x \star a = b$ admet une unique solution : $x = b \star a’$.