Principe des approximations successives

Principe des Approximations Successives

Principe des Approximations Successives

Le principe des approximations successives, ou méthode des itérations de Picard, est l’algorithme constructif qui se cache derrière le théorème du point fixe de Banach. Il fournit une méthode simple et puissante pour trouver numériquement le point fixe d’une application contractante.

L’Algorithme

Soit $f: X \to X$ une application contractante sur un espace métrique complet $(X, d)$. Pour trouver son unique point fixe $l$, on procède comme suit :

  1. On choisit un point de départ arbitraire $x_0 \in X$.
  2. On construit par récurrence la suite des approximations successives (ou des itérés) : $$ x_{n+1} = f(x_n) $$ C’est-à-dire $x_1 = f(x_0)$, $x_2 = f(x_1) = f(f(x_0))$, etc.
  3. Le théorème du point fixe de Banach garantit que cette suite $(x_n)$ converge vers l’unique point fixe $l$ de la fonction $f$.

Vitesse de Convergence

La convergence de cette méthode est géométrique. Si $k$ est le rapport de contraction, on peut majorer la distance entre le n-ième terme de la suite et le point fixe : $$ d(x_n, l) \le \frac{k^n}{1-k} d(x_1, x_0) $$ Comme $k < 1$, le terme $k^n$ tend très rapidement vers 0, ce qui assure une convergence rapide. Plus $k$ est petit, plus la convergence est rapide.

Exemple Numérique

Cherchons une solution à l’équation $x = \cos(x)$.

  • On pose $f(x) = \cos(x)$. L’équation à résoudre est $f(x) = x$.
  • On travaille sur l’espace $X = \mathbb{R}$, qui est complet. La fonction cosinus envoie $\mathbb{R}$ dans $[-1, 1]$, donc on peut restreindre l’étude à un intervalle fermé comme $[-1, 1]$ qui est stable par $f$.
  • D’après le théorème des accroissements finis, $|f(x) – f(y)| = |\cos(x) – \cos(y)| \le |\sin(c)| |x-y|$ pour un $c \in ]x, y[$. Sur $[-1, 1]$, on a $|\sin(c)| \le \sin(1) \approx 0.84 < 1$. La fonction est donc contractante.
  • On peut appliquer la méthode. Prenons $x_0 = 0.5$.
    • $x_1 = \cos(0.5) \approx 0.877$
    • $x_2 = \cos(0.877) \approx 0.639$
    • $x_3 = \cos(0.639) \approx 0.802$
    • … et ainsi de suite.
  • La suite va converger vers l’unique solution, qui est approximativement $0.739$.